Номер 99, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

99. Найдите коэффициенты x и y разложения вектора $ \vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} $ и постройте вектор $ \vec{c} $, если:

a) $ \vec{a}(3; 6) $, $ \vec{b}(2; -2) $, $ \vec{c}(7; 2); $

б) $ \vec{a}(2; 0) $, $ \vec{b}(-1; 3) $, $ \vec{c}(2; 6). $

a)

Дано:

Векторы $\vec{a}(3; 6)$, $\vec{b}(2; -2)$, $\vec{c}(7; 2)$.

Выражение для вектора $\vec{c}$: $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

Найти:

Коэффициенты $x$ и $y$, и описание построения вектора $\vec{c}$.

Решение:

Разложим векторное уравнение $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ на компоненты.

Если $\vec{a} = (a_x; a_y)$, $\vec{b} = (b_x; b_y)$ и $\vec{c} = (c_x; c_y)$, то уравнение примет вид:

$(c_x; c_y) = x(a_x; a_y) + y(b_x; b_y)$

$(c_x; c_y) = (xa_x + yb_x; xa_y + yb_y)$

Это приводит к системе линейных уравнений для координат:

$c_x = xa_x + yb_x$

$c_y = xa_y + yb_y$

Подставим известные координаты векторов:

$7 = 3x + 2y$ (1)

$2 = 6x - 2y$ (2)

Решим систему уравнений методом сложения. Сложим уравнение (1) и (2):

$(7 + 2) = (3x + 6x) + (2y - 2y)$

$9 = 9x$

$x = 1$

Теперь подставим значение $x = 1$ в уравнение (1):

$7 = 3(1) + 2y$

$7 = 3 + 2y$

$4 = 2y$

$y = 2$

Таким образом, коэффициенты разложения $x=1$ и $y=2$.

Для построения вектора $\vec{c}$ графически, используя коэффициенты $x=1$ и $y=2$, и векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1. Отложите вектор $x\vec{a} = 1\vec{a} = \vec{a}$ от начала координат (или любой удобной точки).
2. От конца вектора $x\vec{a}$ отложите вектор $y\vec{b} = 2\vec{b}$. Это означает, что нужно нарисовать вектор $\vec{b}$ в два раза длиннее и в том же направлении, затем переместить его так, чтобы его начало совпадало с концом $x\vec{a}$.
3. Вектор $\vec{c}$ будет вектором, проведенным от начала $x\vec{a}$ (начала координат) до конца $y\vec{b}$.

Ответ: $x=1, y=2$. Вектор $\vec{c}$ строится как сумма векторов $\vec{a}$ и $2\vec{b}$ по правилу треугольника или параллелограмма.

б)

Дано:

Векторы $\vec{a}(2; 0)$, $\vec{b}(-1; 3)$, $\vec{c}(2; 6)$.

Выражение для вектора $\vec{c}$: $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

Найти:

Коэффициенты $x$ и $y$, и описание построения вектора $\vec{c}$.

Решение:

Разложим векторное уравнение $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ на компоненты.

$(c_x; c_y) = (xa_x + yb_x; xa_y + yb_y)$

Подставим известные координаты векторов:

$2 = 2x - y$ (1)

$6 = 0x + 3y$ (2)

Из уравнения (2) напрямую найдем $y$:

$6 = 3y$

$y = 2$

Теперь подставим значение $y = 2$ в уравнение (1):

$2 = 2x - 2$

$4 = 2x$

$x = 2$

Таким образом, коэффициенты разложения $x=2$ и $y=2$.

Для построения вектора $\vec{c}$ графически, используя коэффициенты $x=2$ и $y=2$, и векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1. Отложите вектор $x\vec{a} = 2\vec{a}$ от начала координат (или любой удобной точки). Это вектор, направленный так же, как $\vec{a}$, но в два раза длиннее.
2. От конца вектора $2\vec{a}$ отложите вектор $y\vec{b} = 2\vec{b}$. Это вектор, направленный так же, как $\vec{b}$, но в два раза длиннее. Его начало должно совпадать с концом $2\vec{a}$.
3. Вектор $\vec{c}$ будет вектором, проведенным от начала $2\vec{a}$ (начала координат) до конца $2\vec{b}$.

Ответ: $x=2, y=2$. Вектор $\vec{c}$ строится как сумма векторов $2\vec{a}$ и $2\vec{b}$ по правилу треугольника или параллелограмма.