Номер 95, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

95. Даны векторы $ \vec{a}(3; 2) $ и $ \vec{b}(0; 1). $

Найдите координаты и длину вектора:

а) $ \vec{c} = 2\vec{a} - 3\vec{b} $

б) $ \vec{d} = -\vec{a} + 4\vec{b}. $

Дано:

Векторы $\vec{a}(3; 2)$ и $\vec{b}(0; 1)$.

Найти:

Координаты и длину вектора $\vec{c}$ и $\vec{d}$.

Решение:

a) $\vec{c} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$

Для нахождения координат вектора $\vec{c}$ выполним операции скалярного умножения и вычитания векторов.

Сначала найдем координаты векторов $2\vec{a}$ и $3\vec{b}$ путем умножения каждой координаты на соответствующий скаляр:

$2\vec{a} = 2(3; 2) = (2 \cdot 3; 2 \cdot 2) = (6; 4)$

$3\vec{b} = 3(0; 1) = (3 \cdot 0; 3 \cdot 1) = (0; 3)$

Теперь найдем координаты вектора $\vec{c}$ как разность полученных векторов, вычитая соответствующие координаты:

$\vec{c} = (6 - 0; 4 - 3) = (6; 1)$

Длина (модуль) вектора $|\vec{v}(x; y)|$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Используем эту формулу для нахождения длины вектора $\vec{c}$:

$|\vec{c}| = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}$

Ответ: Координаты $\vec{c}(6; 1)$, длина $|\vec{c}| = \sqrt{37}$.

б) $\vec{d} = -\vec{a} + 4\vec{b}$

Для нахождения координат вектора $\vec{d}$ выполним операции скалярного умножения и сложения векторов.

Сначала найдем координаты векторов $-\vec{a}$ и $4\vec{b}$ путем умножения каждой координаты на соответствующий скаляр:

$-\vec{a} = -1(3; 2) = (-1 \cdot 3; -1 \cdot 2) = (-3; -2)$

$4\vec{b} = 4(0; 1) = (4 \cdot 0; 4 \cdot 1) = (0; 4)$

Теперь найдем координаты вектора $\vec{d}$ как сумму полученных векторов, складывая соответствующие координаты:

$\vec{d} = (-3 + 0; -2 + 4) = (-3; 2)$

Длина (модуль) вектора $|\vec{v}(x; y)|$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Используем эту формулу для нахождения длины вектора $\vec{d}$:

$|\vec{d}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

Ответ: Координаты $\vec{d}(-3; 2)$, длина $|\vec{d}| = \sqrt{13}$.