Номер 91, страница 44 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

91. Имеются ли среди векторов $\vec{a} (0; 3)$, $\vec{b} (-5; 0)$ и $\vec{c} (0; -4)$ коллинеарные векторы? Если имеются, то укажите их.

Дано:

Векторы:
$\vec{a}(0; 3)$
$\vec{b}(-5; 0)$
$\vec{c}(0; -4)$

Найти:

Имеются ли среди данных векторов коллинеарные векторы? Если да, то указать их.

Решение:

Два ненулевых вектора $\vec{u}(x_u; y_u)$ и $\vec{v}(x_v; y_v)$ являются коллинеарными, если существует такое число $k \ne 0$, что $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$. Это эквивалентно условию пропорциональности их координат: $x_u = k \cdot x_v$ и $y_u = k \cdot y_v$.

Проверим каждую пару векторов:

Проверка коллинеарности векторов $\vec{a}(0; 3)$ и $\vec{b}(-5; 0)$:

Для того чтобы векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ были коллинеарными, должно существовать число $k$ такое, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Это означает, что их соответствующие координаты должны быть пропорциональны:

$0 = k \cdot (-5)$
$3 = k \cdot 0$

Из первого уравнения следует $k = 0$. Подставим $k = 0$ во второе уравнение: $3 = 0 \cdot 0 \implies 3 = 0$, что является ложным утверждением. Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не являются коллинеарными. Вектор $\vec{a}$ лежит на оси ординат, а вектор $\vec{b}$ лежит на оси абсцисс. Эти оси перпендикулярны, поэтому векторы, лежащие на них, также перпендикулярны (если они не нулевые).

Проверка коллинеарности векторов $\vec{a}(0; 3)$ и $\vec{c}(0; -4)$:

Для того чтобы векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ были коллинеарными, должно существовать число $k$ такое, что $\vec{a} = k \cdot \vec{c}$. Это означает, что их соответствующие координаты должны быть пропорциональны:

$0 = k \cdot 0$
$3 = k \cdot (-4)$

Из второго уравнения найдем $k$: $k = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$.
Так как найдено одно и то же значение $k$ для всех координат (в данном случае, для ненулевых координат), то векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ являются коллинеарными. Действительно: $\vec{a} = -\frac{3}{4} \vec{c} \implies (0; 3) = (-\frac{3}{4} \cdot 0; -\frac{3}{4} \cdot (-4)) \implies (0; 3) = (0; 3)$.

Проверка коллинеарности векторов $\vec{b}(-5; 0)$ и $\vec{c}(0; -4)$:

Для того чтобы векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ были коллинеарными, должно существовать число $k$ такое, что $\vec{b} = k \cdot \vec{c}$. Это означает, что их соответствующие координаты должны быть пропорциональны:

$-5 = k \cdot 0$
$0 = k \cdot (-4)$

Из первого уравнения следует $-5 = 0$, что является ложным утверждением. Из второго уравнения следует $k = 0$. Поскольку первое уравнение не имеет решения для $k$, векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ не являются коллинеарными. Вектор $\vec{b}$ лежит на оси абсцисс, а вектор $\vec{c}$ лежит на оси ординат. Эти оси перпендикулярны, поэтому векторы, лежащие на них, также перпендикулярны.

Вывод:

Среди данных векторов коллинеарными являются векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$.

Ответ:

Среди векторов $\vec{a}(0; 3)$, $\vec{b}(-5; 0)$ и $\vec{c}(0; -4)$ имеются коллинеарные векторы. Это векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$.