Номер 87, страница 44 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

87. Найдите неизвестную координату начала вектора $\vec{AB}$, если:

a) $|\vec{AB}| = 5$, $B(-1; 3)$, $A(3; y)$.

б) $|\vec{AB}| = 17$, $B(8; -2)$, $A(x; 13)$.

a)

Дано:

$|\vec{AB}| = 5$
$B = (-1; 3)$
$A = (3; y)$

Найти:

$y$

Решение:

Для начала найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Координаты вектора определяются как разность координат его конца и начала. Пусть $A = (x_A; y_A)$ и $B = (x_B; y_B)$. Тогда $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$.
В нашем случае $A = (3; y)$ и $B = (-1; 3)$.
Координаты вектора $\vec{AB}$ будут:
$\vec{AB} = (-1 - 3; 3 - y) = (-4; 3 - y)$

Модуль (длина) вектора $\vec{AB}$ вычисляется по формуле $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
Нам дано, что $|\vec{AB}| = 5$. Подставим известные значения в формулу:
$5 = \sqrt{(-4)^2 + (3 - y)^2}$
Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$5^2 = (-4)^2 + (3 - y)^2$
$25 = 16 + (3 - y)^2$

Выразим $(3 - y)^2$:
$(3 - y)^2 = 25 - 16$
$(3 - y)^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. При этом нужно учесть два возможных значения: положительное и отрицательное:
$3 - y = \pm \sqrt{9}$
$3 - y = \pm 3$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $3 - y = 3$
$y = 3 - 3$
$y = 0$

Случай 2: $3 - y = -3$
$y = 3 - (-3)$
$y = 3 + 3$
$y = 6$

Ответ: $y = 0$ или $y = 6$.

б)

Дано:

$|\vec{AB}| = 17$
$B = (8; -2)$
$A = (x; 13)$

Найти:

$x$

Решение:

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$.
$A = (x; 13)$ и $B = (8; -2)$.
Координаты вектора $\vec{AB}$ будут:
$\vec{AB} = (8 - x; -2 - 13) = (8 - x; -15)$

Модуль (длина) вектора $\vec{AB}$ вычисляется по формуле $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
Нам дано, что $|\vec{AB}| = 17$. Подставим известные значения в формулу:
$17 = \sqrt{(8 - x)^2 + (-15)^2}$
Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$17^2 = (8 - x)^2 + (-15)^2$
$289 = (8 - x)^2 + 225$

Выразим $(8 - x)^2$:
$(8 - x)^2 = 289 - 225$
$(8 - x)^2 = 64$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. При этом нужно учесть два возможных значения: положительное и отрицательное:
$8 - x = \pm \sqrt{64}$
$8 - x = \pm 8$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $8 - x = 8$
$x = 8 - 8$
$x = 0$

Случай 2: $8 - x = -8$
$x = 8 - (-8)$
$x = 8 + 8$
$x = 16$

Ответ: $x = 0$ или $x = 16$.