Номер 83, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

83. Дан треугольник с вершинами $A(-4; 0)$, $B(4; 0)$, $C(0; 2)$, точка $D$ – центр окружности, описанной около него. Разложите вектор $\overrightarrow{DC}$ по векторам $\overrightarrow{DA}$ и $\overrightarrow{DB}$.

Дано:

Треугольник $ABC$ с вершинами $A(-4; 0)$, $B(4; 0)$, $C(0; 2)$.

Точка $D$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Перевод данных в систему СИ: Координаты точек являются безразмерными величинами в рамках данной задачи и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Разложить вектор $\vec{DC}$ по векторам $\vec{DA}$ и $\vec{DB}$. То есть найти такие скаляры $x$ и $y$, что $\vec{DC} = x \vec{DA} + y \vec{DB}$.

Решение:

Для того чтобы разложить вектор $\vec{DC}$ по векторам $\vec{DA}$ и $\vec{DB}$, нам сначала необходимо найти координаты точки $D$, которая является центром описанной окружности. Центр описанной окружности равноудален от всех вершин треугольника, то есть $DA = DB = DC = R$, где $R$ — радиус описанной окружности.

Пусть координаты точки $D$ будут $(x_D; y_D)$.

Расстояние от $D$ до $A$, $B$ и $C$ можно выразить как квадрат расстояния:

$DA^2 = (x_D - (-4))^2 + (y_D - 0)^2 = (x_D + 4)^2 + y_D^2$

$DB^2 = (x_D - 4)^2 + (y_D - 0)^2 = (x_D - 4)^2 + y_D^2$

$DC^2 = (x_D - 0)^2 + (y_D - 2)^2 = x_D^2 + (y_D - 2)^2$

Из равенства $DA^2 = DB^2$ имеем:

$(x_D + 4)^2 + y_D^2 = (x_D - 4)^2 + y_D^2$

$(x_D + 4)^2 = (x_D - 4)^2$

$x_D^2 + 8x_D + 16 = x_D^2 - 8x_D + 16$

$8x_D = -8x_D$

$16x_D = 0$

$x_D = 0$

Теперь, зная $x_D = 0$, подставим его в выражения для $DA^2$ и $DC^2$ и приравняем их:

$DA^2 = (0 + 4)^2 + y_D^2 = 16 + y_D^2$

$DC^2 = 0^2 + (y_D - 2)^2 = (y_D - 2)^2 = y_D^2 - 4y_D + 4$

$16 + y_D^2 = y_D^2 - 4y_D + 4$

$16 = -4y_D + 4$

$12 = -4y_D$

$y_D = -3$

Таким образом, координаты центра описанной окружности $D(0; -3)$.

Теперь вычислим координаты векторов $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$:

$\vec{DA} = A - D = (-4 - 0; 0 - (-3)) = (-4; 3)$

$\vec{DB} = B - D = (4 - 0; 0 - (-3)) = (4; 3)$

$\vec{DC} = C - D = (0 - 0; 2 - (-3)) = (0; 5)$

Мы хотим разложить вектор $\vec{DC}$ по векторам $\vec{DA}$ и $\vec{DB}$, то есть найти $x$ и $y$ такие, что:

$\vec{DC} = x \vec{DA} + y \vec{DB}$

$(0; 5) = x(-4; 3) + y(4; 3)$

$(0; 5) = (-4x + 4y; 3x + 3y)$

Это приводит к системе двух линейных уравнений:

$1) \quad -4x + 4y = 0$

$2) \quad 3x + 3y = 5$

Из первого уравнения $-4x + 4y = 0 \Rightarrow -4x = -4y \Rightarrow x = y$.

Подставим $x = y$ во второе уравнение:

$3x + 3x = 5$

$6x = 5$

$x = \frac{5}{6}$

Так как $x = y$, то $y = \frac{5}{6}$.

Следовательно, разложение вектора $\vec{DC}$ по векторам $\vec{DA}$ и $\vec{DB}$ имеет вид:

$\vec{DC} = \frac{5}{6} \vec{DA} + \frac{5}{6} \vec{DB}$

Ответ:

$\vec{DC} = \frac{5}{6} \vec{DA} + \frac{5}{6} \vec{DB}$