Номер 80, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

80. Разложите векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $\vec{a} = 2\vec{m} - 3\vec{n}$, $\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}$.

Дано:

$\vec{a} = 2\vec{m} - 3\vec{n}$

$\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}$

Найти:

Разложить векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$. То есть, выразить $\vec{m}$ и $\vec{n}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Решение:

У нас есть система из двух линейных векторных уравнений:

1) $2\vec{m} - 3\vec{n} = \vec{a}$

2) $\vec{m} + 2\vec{n} = \vec{b}$

Для того чтобы выразить $\vec{m}$ и $\vec{n}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$, решим эту систему уравнений.

Разложение вектора $\vec{m}$:

Умножим уравнение (2) на 3:

$3(\vec{m} + 2\vec{n}) = 3\vec{b}$

$3\vec{m} + 6\vec{n} = 3\vec{b}$ (Уравнение 3)

Умножим уравнение (1) на 2:

$2(2\vec{m} - 3\vec{n}) = 2\vec{a}$

$4\vec{m} - 6\vec{n} = 2\vec{a}$ (Уравнение 4)

Сложим уравнение (3) и уравнение (4):

$(3\vec{m} + 6\vec{n}) + (4\vec{m} - 6\vec{n}) = 3\vec{b} + 2\vec{a}$

$7\vec{m} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$

Разделим обе части на 7:

$\vec{m} = \frac{2}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$

Разложение вектора $\vec{n}$:

Из уравнения (2) выразим $\vec{m}$:

$\vec{m} = \vec{b} - 2\vec{n}$

Подставим это выражение для $\vec{m}$ в уравнение (1):

$2(\vec{b} - 2\vec{n}) - 3\vec{n} = \vec{a}$

$2\vec{b} - 4\vec{n} - 3\vec{n} = \vec{a}$

$2\vec{b} - 7\vec{n} = \vec{a}$

Перенесем $2\vec{b}$ в правую часть:

$-7\vec{n} = \vec{a} - 2\vec{b}$

Умножим обе части на -1:

$7\vec{n} = 2\vec{b} - \vec{a}$

Разделим обе части на 7:

$\vec{n} = -\frac{1}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{b}$

Ответ:

Вектор $\vec{m}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{m} = \frac{2}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$

Вектор $\vec{n}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{n} = -\frac{1}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{b}$