Страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

77. В треугольнике $ABC$ угол $C$ – прямой, $AB = 10$, CH – высота, $CH = 4$, $CA > CB$. Разложите вектор $\overrightarrow{CH}$ по векторам $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$.

Дано:

Треугольник $ABC$

Угол $C$ - прямой ($90^\circ$)

$AB = 10$

$CH$ - высота

$CH = 4$

$CA > CB$

Найти:

Разложить вектор $\overrightarrow{CH}$ по векторам $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$, то есть найти $k_1$ и $k_2$ такие, что $\overrightarrow{CH} = k_1 \overrightarrow{CA} + k_2 \overrightarrow{CB}$.

Решение:

1. Найдем длины сторон $CA$ и $CB$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ площадь $S$ может быть выражена двумя способами:

$S = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB$

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$

Приравнивая эти выражения, получаем $CA \cdot CB = AB \cdot CH$.

Подставим известные значения: $CA \cdot CB = 10 \cdot 4 = 40$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:

$CA^2 + CB^2 = AB^2$

$CA^2 + CB^2 = 10^2 = 100$.

Мы имеем систему уравнений:

$\begin{cases} CA \cdot CB = 40 \\ CA^2 + CB^2 = 100 \end{cases}$

Используем тождество $(CA+CB)^2 = CA^2 + CB^2 + 2 \cdot CA \cdot CB$.

$(CA+CB)^2 = 100 + 2 \cdot 40 = 100 + 80 = 180$.

$CA+CB = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$.

Используем тождество $(CA-CB)^2 = CA^2 + CB^2 - 2 \cdot CA \cdot CB$.

$(CA-CB)^2 = 100 - 2 \cdot 40 = 100 - 80 = 20$.

Так как по условию $CA > CB$, то $CA-CB > 0$, следовательно $CA-CB = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Теперь решим систему для $CA$ и $CB$:

$\begin{cases} CA + CB = 6\sqrt{5} \\ CA - CB = 2\sqrt{5} \end{cases}$

Сложим уравнения: $2CA = 8\sqrt{5} \Rightarrow CA = 4\sqrt{5}$.

Вычтем второе уравнение из первого: $2CB = 4\sqrt{5} \Rightarrow CB = 2\sqrt{5}$.

2. Найдем длины отрезков $AH$ и $HB$, на которые высота $CH$ делит гипотенузу $AB$.

В прямоугольном треугольнике $CA^2 = AH \cdot AB$ и $CB^2 = HB \cdot AB$.

$AH = \frac{CA^2}{AB} = \frac{(4\sqrt{5})^2}{10} = \frac{16 \cdot 5}{10} = \frac{80}{10} = 8$.

$HB = \frac{CB^2}{AB} = \frac{(2\sqrt{5})^2}{10} = \frac{4 \cdot 5}{10} = \frac{20}{10} = 2$.

Проверим: $AH + HB = 8 + 2 = 10 = AB$. Значения верны.

3. Разложим вектор $\overrightarrow{CH}$ по векторам $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$.

Точка $H$ лежит на отрезке $AB$. Вектор $\overrightarrow{CH}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$ с коэффициентами, зависящими от отношения, в котором $H$ делит $AB$.

Вектор $\overrightarrow{CH}$ из вершины $C$ к точке $H$ на стороне $AB$ выражается формулой:

$\overrightarrow{CH} = \frac{HB}{AB} \overrightarrow{CA} + \frac{AH}{AB} \overrightarrow{CB}$.

Подставим найденные значения $AH=8$, $HB=2$, $AB=10$:

$\overrightarrow{CH} = \frac{2}{10} \overrightarrow{CA} + \frac{8}{10} \overrightarrow{CB}$

$\overrightarrow{CH} = \frac{1}{5} \overrightarrow{CA} + \frac{4}{5} \overrightarrow{CB}$.

Ответ:

$\overrightarrow{CH} = \frac{1}{5} \overrightarrow{CA} + \frac{4}{5} \overrightarrow{CB}$

78. В четырехугольнике $ABCD$ точки $M$ и $K$ – середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.

Дано:

Четырехугольник $ABCD$.

Точка $M$ – середина стороны $BC$.

Точка $K$ – середина стороны $AD$.

Найти:

Выразить вектор $\overrightarrow{MK}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся правилом нахождения вектора, соединяющего середины двух отрезков. Пусть $O$ — произвольная точка. Тогда вектор, проведенный из $O$ к середине отрезка $XY$, обозначаемый $\overrightarrow{OZ}$, равен $\frac{1}{2}(\overrightarrow{OX} + \overrightarrow{OY})$.

Вектор $\overrightarrow{MK}$ можно представить как разность векторов $\overrightarrow{OK}$ и $\overrightarrow{OM}$ относительно произвольной точки $O$:

$\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{OK} - \overrightarrow{OM}$

Поскольку $K$ является серединой стороны $AD$, мы можем записать:

$\overrightarrow{OK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD})$

Аналогично, так как $M$ является серединой стороны $BC$, получаем:

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$

Подставим эти выражения для $\overrightarrow{OK}$ и $\overrightarrow{OM}$ в формулу для $\overrightarrow{MK}$:

$\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$:

$\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC})$

Перегруппируем слагаемые в скобках:

$\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}((\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}))$

Воспользуемся свойством разности векторов: $\overrightarrow{PX} - \overrightarrow{PY} = \overrightarrow{YX}$.

Тогда $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CD}$.

Подставим эти векторные выражения обратно в формулу для $\overrightarrow{MK}$:

$\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CD})$

Так как вектор $\overrightarrow{BA}$ противоположен вектору $\overrightarrow{AB}$, то $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.

Окончательно получаем:

$\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD})$

Или, переставив слагаемые для удобства чтения:

$\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AB})$

Ответ: $\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AB})$

79. Дан треугольник ABC, MN – его средняя линия, параллельная AC, K – середина MN, O – произвольная точка плоскости. Докажите, что $ \vec{OA} + 2\vec{OB} + \vec{OC} = 4\vec{OK} $.

Дано

треугольник $ABC$
$MN$ — средняя линия треугольника $ABC$, параллельная $AC$
$K$ — середина $MN$
$O$ — произвольная точка плоскости

Найти:

Доказать, что $\vec{OA} + 2\vec{OB} + \vec{OC} = 4\vec{OK}$.

Решение

Пусть $O$ — это начало отсчета для всех векторов. Тогда вектор $\vec{OX}$ соответствует радиус-вектору точки $X$.

1. По определению средней линии треугольника, $MN$ является средней линией, параллельной $AC$. Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $N$ является серединой стороны $BC$.

2. Используем векторную формулу для нахождения радиус-вектора середины отрезка. Если $P$ — середина отрезка с концевыми точками $X$ и $Y$, то радиус-вектор точки $P$ равен среднему арифметическому радиус-векторов точек $X$ и $Y$: $\vec{OP} = \frac{\vec{OX} + \vec{OY}}{2}$.

3. Применяем эту формулу для точки $M$, которая является серединой отрезка $AB$:
$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$

4. Аналогично, для точки $N$, которая является серединой отрезка $BC$:
$\vec{ON} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}$

5. По условию, точка $K$ является серединой отрезка $MN$. Применяем ту же формулу для $K$:
$\vec{OK} = \frac{\vec{OM} + \vec{ON}}{2}$

6. Теперь подставим выражения для $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$ из шагов 3 и 4 в формулу для $\vec{OK}$ из шага 5:
$\vec{OK} = \frac{\left(\frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}\right) + \left(\frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}\right)}{2}$

Объединим дроби в числителе:
$\vec{OK} = \frac{\frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OB} + \vec{OC}}{2}}{2}$

Сгруппируем члены в числителе:
$\vec{OK} = \frac{\frac{\vec{OA} + 2\vec{OB} + \vec{OC}}{2}}{2}$

Упростим выражение:
$\vec{OK} = \frac{\vec{OA} + 2\vec{OB} + \vec{OC}}{4}$

7. Наконец, умножим обе части полученного уравнения на 4, чтобы получить требуемое тождество:
$4\vec{OK} = \vec{OA} + 2\vec{OB} + \vec{OC}$

Мы доказали, что $\vec{OA} + 2\vec{OB} + \vec{OC} = 4\vec{OK}$.

Ответ:

Доказано.

80. Разложите векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $\vec{a} = 2\vec{m} - 3\vec{n}$, $\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}$.

Дано:

$\vec{a} = 2\vec{m} - 3\vec{n}$

$\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}$

Найти:

Разложить векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$. То есть, выразить $\vec{m}$ и $\vec{n}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Решение:

У нас есть система из двух линейных векторных уравнений:

1) $2\vec{m} - 3\vec{n} = \vec{a}$

2) $\vec{m} + 2\vec{n} = \vec{b}$

Для того чтобы выразить $\vec{m}$ и $\vec{n}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$, решим эту систему уравнений.

Разложение вектора $\vec{m}$:

Умножим уравнение (2) на 3:

$3(\vec{m} + 2\vec{n}) = 3\vec{b}$

$3\vec{m} + 6\vec{n} = 3\vec{b}$ (Уравнение 3)

Умножим уравнение (1) на 2:

$2(2\vec{m} - 3\vec{n}) = 2\vec{a}$

$4\vec{m} - 6\vec{n} = 2\vec{a}$ (Уравнение 4)

Сложим уравнение (3) и уравнение (4):

$(3\vec{m} + 6\vec{n}) + (4\vec{m} - 6\vec{n}) = 3\vec{b} + 2\vec{a}$

$7\vec{m} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$

Разделим обе части на 7:

$\vec{m} = \frac{2}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$

Разложение вектора $\vec{n}$:

Из уравнения (2) выразим $\vec{m}$:

$\vec{m} = \vec{b} - 2\vec{n}$

Подставим это выражение для $\vec{m}$ в уравнение (1):

$2(\vec{b} - 2\vec{n}) - 3\vec{n} = \vec{a}$

$2\vec{b} - 4\vec{n} - 3\vec{n} = \vec{a}$

$2\vec{b} - 7\vec{n} = \vec{a}$

Перенесем $2\vec{b}$ в правую часть:

$-7\vec{n} = \vec{a} - 2\vec{b}$

Умножим обе части на -1:

$7\vec{n} = 2\vec{b} - \vec{a}$

Разделим обе части на 7:

$\vec{n} = -\frac{1}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{b}$

Ответ:

Вектор $\vec{m}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{m} = \frac{2}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$

Вектор $\vec{n}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{n} = -\frac{1}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{b}$

81. В параллелограмме $ABCD$ точки $N, K, P$ и $M$ принадлежат сторонам $CD, AB, BC$ и $AD$ соответственно, причем $\frac{AK}{KB} = \frac{AM}{MD} = 0,4$, $\frac{BP}{PC} = \frac{DN}{NC} = \frac{3}{7}$. Докажите, что отрезки $MK$ и $PN$ параллельны.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.
Точки $N, K, P, M$ принадлежат сторонам $CD, AB, BC, AD$ соответственно.
$\frac{AK}{KB} = \frac{AM}{MD} = 0.4$
$\frac{BP}{PC} = \frac{DN}{NC} = \frac{3}{7}$

Найти:

Доказать, что отрезки $MK$ и $PN$ параллельны.

Решение:

Для доказательства параллельности отрезков $MK$ и $PN$ воспользуемся векторным методом. Введем базисные векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

В параллелограмме $ABCD$ имеем: $\vec{A} = \vec{0}$ (начало координат)
$\vec{B} = \vec{a}$
$\vec{D} = \vec{b}$
$\vec{C} = \vec{A} + \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{0} + \vec{a} + \vec{b} = \vec{a} + \vec{b}$

Выразим векторы, соответствующие точкам $M$ и $K$:
1. Точка $K$ лежит на стороне $AB$. Дано $\frac{AK}{KB} = 0.4 = \frac{2}{5}$.
Это означает, что $AK = \frac{2}{5} KB$.
Так как $AB = AK + KB$, то $AB = AK + \frac{5}{2} AK = \frac{7}{2} AK$.
Следовательно, $AK = \frac{2}{7} AB$.
Вектор $\vec{AK} = \frac{2}{7} \vec{AB} = \frac{2}{7} \vec{a}$.
Таким образом, $\vec{K} = \frac{2}{7} \vec{a}$.

2. Точка $M$ лежит на стороне $AD$. Дано $\frac{AM}{MD} = 0.4 = \frac{2}{5}$.
Это означает, что $AM = \frac{2}{5} MD$.
Так как $AD = AM + MD$, то $AD = AM + \frac{5}{2} AM = \frac{7}{2} AM$.
Следовательно, $AM = \frac{2}{7} AD$.
Вектор $\vec{AM} = \frac{2}{7} \vec{AD} = \frac{2}{7} \vec{b}$.
Таким образом, $\vec{M} = \frac{2}{7} \vec{b}$.

Теперь найдем вектор $\vec{MK}$: $\vec{MK} = \vec{K} - \vec{M} = \frac{2}{7} \vec{a} - \frac{2}{7} \vec{b} = \frac{2}{7} (\vec{a} - \vec{b})$.

Выразим векторы, соответствующие точкам $P$ и $N$:
3. Точка $P$ лежит на стороне $BC$. Дано $\frac{BP}{PC} = \frac{3}{7}$.
Это означает, что $BP = \frac{3}{7} PC$.
Так как $BC = BP + PC$, то $BC = BP + \frac{7}{3} BP = \frac{10}{3} BP$.
Следовательно, $BP = \frac{3}{10} BC$.
Вектор $\vec{BC}$ равен $\vec{AD}$, то есть $\vec{b}$.
Вектор $\vec{BP} = \frac{3}{10} \vec{BC} = \frac{3}{10} \vec{b}$.
Таким образом, $\vec{P} = \vec{B} + \vec{BP} = \vec{a} + \frac{3}{10} \vec{b}$.

4. Точка $N$ лежит на стороне $CD$. Дано $\frac{DN}{NC} = \frac{3}{7}$.
Это означает, что $DN = \frac{3}{7} NC$.
Так как $DC = DN + NC$, то $DC = DN + \frac{7}{3} DN = \frac{10}{3} DN$.
Следовательно, $DN = \frac{3}{10} DC$.
Вектор $\vec{DC}$ равен $\vec{AB}$, то есть $\vec{a}$.
Вектор $\vec{DN} = \frac{3}{10} \vec{DC} = \frac{3}{10} \vec{a}$.
Таким образом, $\vec{N} = \vec{D} + \vec{DN} = \vec{b} + \frac{3}{10} \vec{a}$.

Теперь найдем вектор $\vec{PN}$: $\vec{PN} = \vec{N} - \vec{P} = \left(\vec{b} + \frac{3}{10} \vec{a}\right) - \left(\vec{a} + \frac{3}{10} \vec{b}\right)$
$\vec{PN} = \vec{b} + \frac{3}{10} \vec{a} - \vec{a} - \frac{3}{10} \vec{b}$
$\vec{PN} = \left(\frac{3}{10} - 1\right) \vec{a} + \left(1 - \frac{3}{10}\right) \vec{b}$
$\vec{PN} = -\frac{7}{10} \vec{a} + \frac{7}{10} \vec{b}$
$\vec{PN} = -\frac{7}{10} (\vec{a} - \vec{b})$

Сравним векторы $\vec{MK}$ и $\vec{PN}$: $\vec{MK} = \frac{2}{7} (\vec{a} - \vec{b})$
$\vec{PN} = -\frac{7}{10} (\vec{a} - \vec{b})$

Мы можем выразить $\vec{a} - \vec{b}$ из первого уравнения: $(\vec{a} - \vec{b}) = \frac{7}{2} \vec{MK}$.
Подставим это во второе уравнение: $\vec{PN} = -\frac{7}{10} \left(\frac{7}{2} \vec{MK}\right)$
$\vec{PN} = -\frac{49}{20} \vec{MK}$

Так как вектор $\vec{PN}$ является скалярным произведением вектора $\vec{MK}$ на скаляр $-\frac{49}{20}$, то отрезки $MK$ и $PN$ параллельны.

Ответ: Отрезки $MK$ и $PN$ параллельны.

82. Дан треугольник с вершинами M(0; 12), N(9; 0), K(0; -12), точка C – центр окружности, вписанной в него. Разложите вектор $\vec{CN}$ по векторам $\vec{CM}$ и $\vec{CK}$.

Дано:

Треугольник с вершинами $M(0, 12)$, $N(9, 0)$, $K(0, -12)$. Точка $C$ – центр окружности, вписанной в треугольник $MNK$.

Найти:

Разложить вектор $\vec{CN}$ по векторам $\vec{CM}$ и $\vec{CK}$. То есть, найти коэффициенты $a$ и $b$ такие, что $\vec{CN} = a \cdot \vec{CM} + b \cdot \vec{CK}$.

Решение:

Для разложения вектора нам понадобятся координаты всех трех точек $C$, $M$, $N$, $K$. Координаты вершин $M$, $N$, $K$ заданы. Сначала найдем координаты центра $C$ вписанной окружности (инцентра).

Координаты инцентра $(x_C, y_C)$ вычисляются по формулам: $x_C = \frac{m \cdot x_M + n \cdot x_N + k \cdot x_K}{m + n + k}$ $y_C = \frac{m \cdot y_M + n \cdot y_N + k \cdot y_K}{m + n + k}$ где $m, n, k$ - длины сторон, противоположных вершинам $M, N, K$ соответственно.

Вычислим длины сторон треугольника $MNK$:

Длина стороны $k = |\vec{MN}|$: $k = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(9 - 0)^2 + (0 - 12)^2} = \sqrt{9^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.

Длина стороны $m = |\vec{NK}|$: $m = \sqrt{(x_K - x_N)^2 + (y_K - y_N)^2} = \sqrt{(0 - 9)^2 + (-12 - 0)^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.

Длина стороны $n = |\vec{KM}|$: $n = \sqrt{(x_M - x_K)^2 + (y_M - y_K)^2} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (12 - (-12))^2} = \sqrt{0^2 + (24)^2} = \sqrt{576} = 24$.

Теперь вычислим координаты инцентра $C(x_C, y_C)$: $x_C = \frac{15 \cdot 0 + 24 \cdot 9 + 15 \cdot 0}{15 + 24 + 15} = \frac{0 + 216 + 0}{54} = \frac{216}{54} = 4$. $y_C = \frac{15 \cdot 12 + 24 \cdot 0 + 15 \cdot (-12)}{15 + 24 + 15} = \frac{180 + 0 - 180}{54} = \frac{0}{54} = 0$.

Таким образом, координаты инцентра $C$ равны $(4, 0)$.

Далее найдем координаты векторов $\vec{CM}$, $\vec{CK}$ и $\vec{CN}$. Вектор $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_A, y_A)$ и концом в точке $B(x_B, y_B)$ имеет координаты $(x_B - x_A, y_B - y_A)$.

Координаты точек: $C(4, 0)$, $M(0, 12)$, $N(9, 0)$, $K(0, -12)$.

$\vec{CM} = (0 - 4, 12 - 0) = (-4, 12)$.

$\vec{CK} = (0 - 4, -12 - 0) = (-4, -12)$.

$\vec{CN} = (9 - 4, 0 - 0) = (5, 0)$.

Теперь разложим вектор $\vec{CN}$ по векторам $\vec{CM}$ и $\vec{CK}$. Это означает, что нам нужно найти такие скаляры $a$ и $b$, что: $\vec{CN} = a \cdot \vec{CM} + b \cdot \vec{CK}$

Подставим координаты векторов: $(5, 0) = a \cdot (-4, 12) + b \cdot (-4, -12)$ $(5, 0) = (-4a, 12a) + (-4b, -12b)$ $(5, 0) = (-4a - 4b, 12a - 12b)$

Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему уравнений: $5 = -4a - 4b \quad (1)$ $0 = 12a - 12b \quad (2)$

Из уравнения $(2)$ следует: $12a = 12b$ $a = b$

Подставим $a = b$ в уравнение $(1)$: $5 = -4a - 4a$ $5 = -8a$ $a = -\frac{5}{8}$

Так как $a = b$, то $b = -\frac{5}{8}$.

Следовательно, разложение вектора $\vec{CN}$ по векторам $\vec{CM}$ и $\vec{CK}$ имеет вид: $\vec{CN} = -\frac{5}{8} \cdot \vec{CM} - \frac{5}{8} \cdot \vec{CK}$

Ответ: $\vec{CN} = -\frac{5}{8} \cdot \vec{CM} - \frac{5}{8} \cdot \vec{CK}$

83. Дан треугольник с вершинами $A(-4; 0)$, $B(4; 0)$, $C(0; 2)$, точка $D$ – центр окружности, описанной около него. Разложите вектор $\overrightarrow{DC}$ по векторам $\overrightarrow{DA}$ и $\overrightarrow{DB}$.

Дано:

Треугольник $ABC$ с вершинами $A(-4; 0)$, $B(4; 0)$, $C(0; 2)$.

Точка $D$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Перевод данных в систему СИ: Координаты точек являются безразмерными величинами в рамках данной задачи и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Разложить вектор $\vec{DC}$ по векторам $\vec{DA}$ и $\vec{DB}$. То есть найти такие скаляры $x$ и $y$, что $\vec{DC} = x \vec{DA} + y \vec{DB}$.

Решение:

Для того чтобы разложить вектор $\vec{DC}$ по векторам $\vec{DA}$ и $\vec{DB}$, нам сначала необходимо найти координаты точки $D$, которая является центром описанной окружности. Центр описанной окружности равноудален от всех вершин треугольника, то есть $DA = DB = DC = R$, где $R$ — радиус описанной окружности.

Пусть координаты точки $D$ будут $(x_D; y_D)$.

Расстояние от $D$ до $A$, $B$ и $C$ можно выразить как квадрат расстояния:

$DA^2 = (x_D - (-4))^2 + (y_D - 0)^2 = (x_D + 4)^2 + y_D^2$

$DB^2 = (x_D - 4)^2 + (y_D - 0)^2 = (x_D - 4)^2 + y_D^2$

$DC^2 = (x_D - 0)^2 + (y_D - 2)^2 = x_D^2 + (y_D - 2)^2$

Из равенства $DA^2 = DB^2$ имеем:

$(x_D + 4)^2 + y_D^2 = (x_D - 4)^2 + y_D^2$

$(x_D + 4)^2 = (x_D - 4)^2$

$x_D^2 + 8x_D + 16 = x_D^2 - 8x_D + 16$

$8x_D = -8x_D$

$16x_D = 0$

$x_D = 0$

Теперь, зная $x_D = 0$, подставим его в выражения для $DA^2$ и $DC^2$ и приравняем их:

$DA^2 = (0 + 4)^2 + y_D^2 = 16 + y_D^2$

$DC^2 = 0^2 + (y_D - 2)^2 = (y_D - 2)^2 = y_D^2 - 4y_D + 4$

$16 + y_D^2 = y_D^2 - 4y_D + 4$

$16 = -4y_D + 4$

$12 = -4y_D$

$y_D = -3$

Таким образом, координаты центра описанной окружности $D(0; -3)$.

Теперь вычислим координаты векторов $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$:

$\vec{DA} = A - D = (-4 - 0; 0 - (-3)) = (-4; 3)$

$\vec{DB} = B - D = (4 - 0; 0 - (-3)) = (4; 3)$

$\vec{DC} = C - D = (0 - 0; 2 - (-3)) = (0; 5)$

Мы хотим разложить вектор $\vec{DC}$ по векторам $\vec{DA}$ и $\vec{DB}$, то есть найти $x$ и $y$ такие, что:

$\vec{DC} = x \vec{DA} + y \vec{DB}$

$(0; 5) = x(-4; 3) + y(4; 3)$

$(0; 5) = (-4x + 4y; 3x + 3y)$

Это приводит к системе двух линейных уравнений:

$1) \quad -4x + 4y = 0$

$2) \quad 3x + 3y = 5$

Из первого уравнения $-4x + 4y = 0 \Rightarrow -4x = -4y \Rightarrow x = y$.

Подставим $x = y$ во второе уравнение:

$3x + 3x = 5$

$6x = 5$

$x = \frac{5}{6}$

Так как $x = y$, то $y = \frac{5}{6}$.

Следовательно, разложение вектора $\vec{DC}$ по векторам $\vec{DA}$ и $\vec{DB}$ имеет вид:

$\vec{DC} = \frac{5}{6} \vec{DA} + \frac{5}{6} \vec{DB}$

Ответ:

$\vec{DC} = \frac{5}{6} \vec{DA} + \frac{5}{6} \vec{DB}$

84. На окружности с центром $O$ даны точки $A$ и $B$. Касательные $AC$ и $BC$ к окружности пересекаются в точке $C$. Выразите вектор $\vec{OC}$ через векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, если:

а) $\angle AOB = 120^\circ$;

б) $\angle AOB = 60^\circ$.

Дано:

Окружность с центром $O$. Точки $A$ и $B$ лежат на окружности. Касательные $AC$ и $BC$ к окружности пересекаются в точке $C$. Радиус окружности $R = |\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}|$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения углов (градусы) являются стандартными для геометрических задач. Длины радиусов не заданы конкретными числовыми значениями, но обозначены как $R$, что достаточно для векторных вычислений. Перевод в другие единицы СИ не требуется.

Найти:

Выразить вектор $\overrightarrow{OC}$ через векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ для случаев:

Решение:

Из условия задачи известно, что $AC$ и $BC$ являются касательными к окружности с центром $O$, проведенными из точки $C$. Из свойств касательных к окружности, проведенных из одной точки, следуют несколько важных фактов:
1. Радиусы, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательным: $OA \perp AC$ и $OB \perp BC$. Следовательно, углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ являются прямыми ($90^\circ$).
2. Длины касательных отрезков, проведенных из одной точки к окружности, равны: $AC = BC$.
3. Отрезок $OC$ соединяет центр окружности с внешней точкой $C$. Этот отрезок является биссектрисой угла $\angle ACB$ и угла $\angle AOB$.
4. Треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$ являются прямоугольными и равными (по катету $OA=OB=R$ и общей гипотенузе $OC$).
Пусть $\angle AOB = \alpha$. Так как $OC$ является биссектрисой $\angle AOB$, то $\angle AOC = \angle BOC = \alpha/2$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OAC$ (с прямым углом при вершине $A$) можем выразить длину гипотенузы $OC$ через катет $OA=R$ и угол $\angle AOC$: $OC = \frac{OA}{\cos(\angle AOC)} = \frac{R}{\cos(\alpha/2)}$.

Вектор $\overrightarrow{OC}$ лежит на биссектрисе угла $\angle AOB$. Поскольку $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = R$, вектор $\overrightarrow{OC}$ сонаправлен с вектором суммы $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$. Следовательно, мы можем записать $\overrightarrow{OC} = k(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ для некоторого положительного скаляра $k$. Найдем модуль вектора суммы $|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}|$: $|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}|^2 = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) = |\overrightarrow{OA}|^2 + |\overrightarrow{OB}|^2 + 2 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$. Подставим $R = |\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}|$ и $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \cos(\angle AOB) = R^2 \cos \alpha$: $|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}|^2 = R^2 + R^2 + 2R^2 \cos \alpha = 2R^2 (1 + \cos \alpha)$. Используем тригонометрическую тождество $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 (\alpha/2)$: $|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}|^2 = 2R^2 (2 \cos^2 (\alpha/2)) = 4R^2 \cos^2 (\alpha/2)$. Извлекая квадратный корень, получаем: $|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}| = \sqrt{4R^2 \cos^2 (\alpha/2)} = 2R |\cos (\alpha/2)|$. Поскольку $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ (угол между радиусами), то $0^\circ < \alpha/2 < 90^\circ$. В этом интервале $\cos(\alpha/2) > 0$. Таким образом, $|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}| = 2R \cos (\alpha/2)$. Теперь подставим это в равенство $|\overrightarrow{OC}| = k |\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}|$ (поскольку $k > 0$): $\frac{R}{\cos(\alpha/2)} = k \cdot (2R \cos (\alpha/2))$. Решим для $k$: $k = \frac{R}{\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{2R \cos (\alpha/2)} = \frac{1}{2 \cos^2 (\alpha/2)}$. Используя тригонометрическую формулу $2 \cos^2 x = 1 + \cos(2x)$, получаем: $k = \frac{1}{1 + \cos \alpha}$. Следовательно, общая формула для вектора $\overrightarrow{OC}$ через $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ есть: $\overrightarrow{OC} = \frac{1}{1 + \cos \alpha} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$, где $\alpha = \angle AOB$.

a) $\angle AOB = 120^\circ$

Для этого случая $\alpha = 120^\circ$. Вычислим $\cos \alpha$: $\cos 120^\circ = -1/2$. Подставим значение $\cos \alpha$ в формулу для $k$: $k = \frac{1}{1 + (-1/2)} = \frac{1}{1/2} = 2$. Таким образом, $\overrightarrow{OC} = 2(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$.

Ответ: $\overrightarrow{OC} = 2(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$.

б) $\angle AOB = 60^\circ$

Для этого случая $\alpha = 60^\circ$. Вычислим $\cos \alpha$: $\cos 60^\circ = 1/2$. Подставим значение $\cos \alpha$ в формулу для $k$: $k = \frac{1}{1 + 1/2} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$. Таким образом, $\overrightarrow{OC} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$.

Ответ: $\overrightarrow{OC} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Постройте систему координат и отметьте в ней точки $A(4; 3)$ и $B(-6; 5)$. Постройте векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, где $O$ – начало координат. Постройте вектор $\vec{OC}$ такой, что $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$. Найдите координаты точки $C$. Проанализируйте полученные данные.

Дано:

$A(4; 3)$

$B(-6; 5)$

$O(0; 0)$ - начало координат

$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$

Найти:

Координаты точки $C$.

Анализ полученных данных.

Решение

Постройте систему координат и отметьте в ней точки A(4; 3) и B(-6; 5).
Для построения системы координат необходимо провести две взаимно перпендикулярные прямые, которые будут являться осями координат: горизонтальная ось X (ось абсцисс) и вертикальная ось Y (ось ординат). Точка их пересечения будет началом координат $O(0;0)$. Затем на каждой оси необходимо отметить единичные отрезки для масштаба.
Для того чтобы отметить точку $A(4; 3)$, нужно отложить 4 единицы вправо по оси X от начала координат и 3 единицы вверх по оси Y. Точка, находящаяся на пересечении линий, параллельных осям и проходящих через эти отметки, будет точкой $A$.
Для того чтобы отметить точку $B(-6; 5)$, нужно отложить 6 единиц влево по оси X от начала координат (так как координата по X отрицательная) и 5 единиц вверх по оси Y. Точка, находящаяся на пересечении линий, параллельных осям и проходящих через эти отметки, будет точкой $B$.
Ответ: Графическое построение системы координат с отмеченными точками $A(4; 3)$ и $B(-6; 5)$ выполняется согласно описанной процедуре.

Постройте векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, где O – начало координат.
Вектор $\vec{OA}$ - это вектор, который начинается в начале координат $O(0; 0)$ и заканчивается в точке $A(4; 3)$. Графически он изображается в виде стрелки, идущей от $O$ к $A$. Координаты вектора $\vec{OA}$ определяются как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{OA} = (x_A - x_O; y_A - y_O) = (4 - 0; 3 - 0) = (4; 3)$.
Вектор $\vec{OB}$ - это вектор, который начинается в начале координат $O(0; 0)$ и заканчивается в точке $B(-6; 5)$. Графически он изображается в виде стрелки, идущей от $O$ к $B$. Координаты вектора $\vec{OB}$ определяются аналогично: $\vec{OB} = (x_B - x_O; y_B - y_O) = (-6 - 0; 5 - 0) = (-6; 5)$.
Ответ: Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ построены, их координаты $\vec{OA} = (4; 3)$ и $\vec{OB} = (-6; 5)$.

Постройте вектор $\vec{OC}$ такой, что $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$. Найдите координаты точки C.
Для нахождения координат вектора $\vec{OC}$ необходимо выполнить покомпонентное сложение координат векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$.
Пусть $\vec{OA} = (x_A; y_A)$ и $\vec{OB} = (x_B; y_B)$. Тогда вектор $\vec{OC} = (x_C; y_C)$ будет иметь координаты:
$x_C = x_A + x_B$
$y_C = y_A + y_B$
Подставляем известные значения:
$x_C = 4 + (-6) = 4 - 6 = -2$
$y_C = 3 + 5 = 8$
Таким образом, координаты вектора $\vec{OC}$ равны $(-2; 8)$.
Поскольку вектор $\vec{OC}$ начинается в начале координат $O(0; 0)$, то координаты его конечной точки $C$ совпадают с координатами самого вектора. Следовательно, точка $C$ имеет координаты $C(-2; 8)$.
Для графического построения вектора $\vec{OC}$ можно использовать правило параллелограмма. Из точки $A$ отложите вектор, равный $\vec{OB}$ (т.е. с координатами $(-6; 5)$), или из точки $B$ отложите вектор, равный $\vec{OA}$ (т.е. с координатами $(4; 3)$). Конец этого вектора будет точкой $C$. Вектор $\vec{OC}$ будет являться диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, исходящих из начала координат $O$.
Ответ: Координаты точки $C$ найдены: $C(-2; 8)$. Вектор $\vec{OC}$ построен как сумма векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$.

Проанализируйте полученные данные.
1. Если вектор начинается в начале координат $O(0;0)$, то его координаты численно совпадают с координатами конечной точки этого вектора. Это отчетливо видно на примере векторов $\vec{OA}=(4;3)$ для точки $A(4;3)$, $\vec{OB}=(-6;5)$ для точки $B(-6;5)$, а также для полученного вектора $\vec{OC}=(-2;8)$ для точки $C(-2;8)$.
2. Сложение векторов в координатной плоскости выполняется покомпонентно: отдельно складываются соответствующие $x$-координаты и отдельно $y$-координаты. Это позволяет производить векторные операции аналитически, без необходимости графических построений, что является фундаментальным свойством линейных пространств.
3. Геометрически, полученный вектор $\vec{OC}$ является главной диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, если они исходят из одной точки (начала координат $O$). Точка $C(-2;8)$ является четвертой вершиной этого параллелограмма, образованного точками $O(0;0)$, $A(4;3)$, $C(-2;8)$ и $B(-6;5)$.
Ответ: Анализ подтверждает, что координаты векторов, начинающихся в начале координат, совпадают с координатами их конечных точек. Сложение векторов производится покомпонентно, а его геометрическим представлением является правило параллелограмма.