Страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

61. Известно, что один и тот же вектор параллелен вектору, равному как сумме, так и разности двух других векторов. Постройте такие векторы.

Дано:

Пусть $\vec{c}$ - искомый вектор, а $\vec{a}$ и $\vec{b}$ - два других вектора.
Согласно условию задачи, вектор $\vec{c}$ параллелен вектору, равному сумме $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то есть $\vec{c} \parallel (\vec{a} + \vec{b})$.
Также вектор $\vec{c}$ параллелен вектору, равному разности $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то есть $\vec{c} \parallel (\vec{a} - \vec{b})$.

Найти:

Построить такие векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, которые удовлетворяют заданным условиям.

Решение:

Из условия параллельности векторов $\vec{c} \parallel (\vec{a} + \vec{b})$ следует, что существует ненулевой скаляр $k_1$ такой, что:
$\vec{a} + \vec{b} = k_1 \vec{c}$ $(1)$
Аналогично, из условия $\vec{c} \parallel (\vec{a} - \vec{b})$ следует, что существует ненулевой скаляр $k_2$ такой, что:
$\vec{a} - \vec{b} = k_2 \vec{c}$ $(2)$
(Мы предполагаем, что $\vec{c} \neq \vec{0}$, $\vec{a}+\vec{b} \neq \vec{0}$ и $\vec{a}-\vec{b} \neq \vec{0}$, поскольку параллельность с нулевым вектором неоднозначна или приводит к тривиальному случаю, когда все векторы нулевые.)

Сложим уравнения $(1)$ и $(2)$:
$(\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{a} - \vec{b}) = k_1 \vec{c} + k_2 \vec{c}$
$2\vec{a} = (k_1 + k_2)\vec{c}$ $(3)$

Вычтем уравнение $(2)$ из уравнения $(1)$:
$(\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} - \vec{b}) = k_1 \vec{c} - k_2 \vec{c}$
$2\vec{b} = (k_1 - k_2)\vec{c}$ $(4)$

Из уравнения $(3)$ следует, что вектор $\vec{a}$ параллелен вектору $\vec{c}$ (если $k_1 + k_2 \neq 0$). Если $k_1 + k_2 = 0$, то $2\vec{a} = \vec{0}$, что означает $\vec{a} = \vec{0}$.
Из уравнения $(4)$ следует, что вектор $\vec{b}$ параллелен вектору $\vec{c}$ (если $k_1 - k_2 \neq 0$). Если $k_1 - k_2 = 0$, то $2\vec{b} = \vec{0}$, что означает $\vec{b} = \vec{0}$.

Таким образом, для того чтобы условия задачи выполнялись для ненулевых векторов, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ должны быть коллинеарными (параллельными друг другу).
Рассмотрим случаи с нулевыми векторами:
1. Если $\vec{a} = \vec{0}$:
Тогда из $(1)$ получаем $\vec{b} = k_1 \vec{c}$, и из $(2)$ получаем $-\vec{b} = k_2 \vec{c}$. Следовательно, $k_2 = -k_1$. В этом случае $\vec{b}$ параллелен $\vec{c}$. Пример: $\vec{a} = (0,0,0)$, $\vec{b} = (2,0,0)$, $\vec{c} = (1,0,0)$.
2. Если $\vec{b} = \vec{0}$:
Тогда из $(1)$ получаем $\vec{a} = k_1 \vec{c}$, и из $(2)$ получаем $\vec{a} = k_2 \vec{c}$. Следовательно, $k_1 = k_2$. В этом случае $\vec{a}$ параллелен $\vec{c}$. Пример: $\vec{a} = (2,0,0)$, $\vec{b} = (0,0,0)$, $\vec{c} = (1,0,0)$.
3. Если $\vec{a} = \vec{0}$ и $\vec{b} = \vec{0}$:
Тогда $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ и $\vec{a} - \vec{b} = \vec{0}$. В этом случае $\vec{c}$ должен быть параллелен нулевому вектору, что обычно интерпретируется как $\vec{c} = \vec{0}$. Это тривиальный случай, когда все векторы нулевые.

Наиболее общий случай, при котором векторы ненулевые, это когда $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны. Построим пример таких векторов. Пусть все векторы лежат на оси X.
Выберем вектор $\vec{c}$ как единичный вектор вдоль оси X:
$\vec{c} = (1, 0, 0)$
Выберем векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ также вдоль оси X, такие, чтобы их сумма и разность не были нулевыми (то есть $\vec{a} \neq -\vec{b}$ и $\vec{a} \neq \vec{b}$).
Пусть $\vec{a} = (3, 0, 0)$
Пусть $\vec{b} = (1, 0, 0)$
Проверим условия:
1. Сумма векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} + \vec{b} = (3, 0, 0) + (1, 0, 0) = (4, 0, 0)$
Вектор $(4, 0, 0)$ параллелен вектору $\vec{c}=(1, 0, 0)$, так как $(4, 0, 0) = 4 \cdot (1, 0, 0)$.
2. Разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} - \vec{b} = (3, 0, 0) - (1, 0, 0) = (2, 0, 0)$
Вектор $(2, 0, 0)$ параллелен вектору $\vec{c}=(1, 0, 0)$, так как $(2, 0, 0) = 2 \cdot (1, 0, 0)$.
Оба условия выполняются.

Ответ:

Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ должны быть коллинеарны. Пример таких векторов:
$\vec{a} = (3, 0, 0)$
$\vec{b} = (1, 0, 0)$
$\vec{c} = (1, 0, 0)$

62. Известно, что $\vec{a} = \vec{x} + \vec{y}$, $\vec{b} = \vec{x} - \vec{y}$. Выразите через $\vec{x}$ и $\vec{y}$ векторы:

а) $\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b}$;

б) $4\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$;

в) $-0,3\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$.

Дано:

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выражены через векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ следующим образом:

$\vec{a} = \vec{x} + \vec{y}$
$\vec{b} = \vec{x} - \vec{y}$

Найти:

Выразить через $\vec{x}$ и $\vec{y}$ следующие векторы:

а) $\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b}$
б) $4\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$
в) $-0.3\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$

Решение:

а) $\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b}$

Подставим выражения для $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в заданное векторное выражение:

$\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y}) + 3(\vec{x} - \vec{y})$

Раскроем скобки, умножая скаляры на каждый компонент внутри скобок:

$= \frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y} + 3\vec{x} - 3\vec{y}$

Сгруппируем члены, содержащие $\vec{x}$, и члены, содержащие $\vec{y}$:

$= (\frac{1}{2} + 3)\vec{x} + (\frac{1}{2} - 3)\vec{y}$

Приведем коэффициенты к общему знаменателю для выполнения сложения и вычитания:

$= (\frac{1}{2} + \frac{6}{2})\vec{x} + (\frac{1}{2} - \frac{6}{2})\vec{y}$

Выполним арифметические операции с коэффициентами:

$= \frac{7}{2}\vec{x} - \frac{5}{2}\vec{y}$

Ответ: $\frac{7}{2}\vec{x} - \frac{5}{2}\vec{y}$

б) $4\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$

Подставим выражения для $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в заданное векторное выражение:

$4\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b} = 4(\vec{x} + \vec{y}) - \frac{2}{3}(\vec{x} - \vec{y})$

Раскроем скобки:

$= 4\vec{x} + 4\vec{y} - \frac{2}{3}\vec{x} + \frac{2}{3}\vec{y}$

Сгруппируем члены, содержащие $\vec{x}$, и члены, содержащие $\vec{y}$:

$= (4 - \frac{2}{3})\vec{x} + (4 + \frac{2}{3})\vec{y}$

Приведем коэффициенты к общему знаменателю:

$= (\frac{12}{3} - \frac{2}{3})\vec{x} + (\frac{12}{3} + \frac{2}{3})\vec{y}$

Выполним арифметические операции:

$= \frac{10}{3}\vec{x} + \frac{14}{3}\vec{y}$

Ответ: $\frac{10}{3}\vec{x} + \frac{14}{3}\vec{y}$

в) $-0.3\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$

Для удобства вычислений переведем десятичную дробь в обыкновенную: $-0.3 = -\frac{3}{10}$.

Подставим выражения для $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в заданное векторное выражение:

$-0.3\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b} = -\frac{3}{10}(\vec{x} + \vec{y}) - \frac{1}{4}(\vec{x} - \vec{y})$

Раскроем скобки:

$= -\frac{3}{10}\vec{x} - \frac{3}{10}\vec{y} - \frac{1}{4}\vec{x} + \frac{1}{4}\vec{y}$

Сгруппируем члены, содержащие $\vec{x}$, и члены, содержащие $\vec{y}$:

$= (-\frac{3}{10} - \frac{1}{4})\vec{x} + (-\frac{3}{10} + \frac{1}{4})\vec{y}$

Приведем коэффициенты к общему знаменателю (20) для выполнения сложения и вычитания:

Для коэффициента при $\vec{x}$: $-\frac{3}{10} - \frac{1}{4} = -\frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = -\frac{6}{20} - \frac{5}{20} = -\frac{11}{20}$

Для коэффициента при $\vec{y}$: $-\frac{3}{10} + \frac{1}{4} = -\frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = -\frac{6}{20} + \frac{5}{20} = -\frac{1}{20}$

Таким образом, окончательное выражение будет:

$= -\frac{11}{20}\vec{x} - \frac{1}{20}\vec{y}$

Ответ: $-\frac{11}{20}\vec{x} - \frac{1}{20}\vec{y}$

63. Дан параллелограмм $ABCD$, точки: $M$ – середина $DC$, $O$ – середина $AM$ и векторы $\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{b}$. Выразите через $\vec{a}$ и $\vec{b}$ векторы $\vec{AM}$ и $\vec{CO}$.

Дано:

Параллелограмм ABCD.

Точка M — середина стороны DC.

Точка O — середина отрезка AM.

Векторы: $\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{b}$.

Найти:

Выразить векторы $\vec{AM}$ и $\vec{CO}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся свойствами параллелограмма и правилами сложения и вычитания векторов, а также свойством вектора, идущего в середину отрезка.

В параллелограмме ABCD справедливы следующие векторные равенства:

• $\vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{a}$
• $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{b}$ (противоположные стороны параллелограмма)
• $\vec{DC} = \vec{AB} = -\vec{a}$ (противоположные стороны параллелограмма)
• $\vec{CD} = -\vec{DC} = \vec{a}$

Выражение вектора $\vec{AM}$

Вектор $\vec{AM}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DM}$ (по правилу треугольника для $\triangle ADM$).

Так как M — середина DC, то $\vec{DM} = \frac{1}{2}\vec{DC}$.

Подставим известные нам выражения:

$\vec{DM} = \frac{1}{2}(-\vec{a})$

$\vec{AM} = \vec{AD} + \vec{DM}$

$\vec{AM} = \vec{b} + \frac{1}{2}(-\vec{a})$

$\vec{AM} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$

Ответ: $\vec{AM} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$

Выражение вектора $\vec{CO}$

Вектор $\vec{CO}$ можно представить как сумму векторов $\vec{CA}$ и $\vec{AO}$ (по правилу треугольника для $\triangle CAO$).

Сначала найдем вектор $\vec{CA}$. Вектор $\vec{CA}$ можно выразить как сумму векторов $\vec{CB}$ и $\vec{BA}$.

$\vec{CB} = -\vec{BC} = -\vec{b}$

$\vec{CA} = \vec{CB} + \vec{BA}$

$\vec{CA} = -\vec{b} + \vec{a}$

Теперь найдем вектор $\vec{AO}$. Так как O — середина AM, то $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AM}$.

Используем найденное нами выражение для $\vec{AM}$:

$\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a})$

$\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a}$

Теперь подставим выражения для $\vec{CA}$ и $\vec{AO}$ в формулу для $\vec{CO}$:

$\vec{CO} = \vec{CA} + \vec{AO}$

$\vec{CO} = (-\vec{b} + \vec{a}) + (\frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a})$

Сгруппируем слагаемые с $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{CO} = \vec{a} - \frac{1}{4}\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{CO} = (1 - \frac{1}{4})\vec{a} + (-1 + \frac{1}{2})\vec{b}$

$\vec{CO} = \frac{3}{4}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

Ответ: $\vec{CO} = \frac{3}{4}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

64. На сторонах $AD$ и $CD$ прямоугольника $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $AM : MD = 1 : 2$, а $N$ - середина $CD$. Даны векторы $\vec{a} = \vec{AC}$ и $\vec{b} = \vec{BD}$. Выразите через $\vec{a}$ и $\vec{b}$ векторы $\vec{BC}, \vec{AB}, \vec{CN}, \vec{DM}$.

Дано:

Прямоугольник $ABCD$.

Точки $M$ на $AD$ и $N$ на $CD$.

$AM : MD = 1 : 2$.

$N$ - середина $CD$.

Векторы $\vec{a} = \vec{AC}$ и $\vec{b} = \vec{BD}$.

Перевод в СИ:

Данные величины не требуют перевода в систему СИ, так как являются абстрактными векторами и отношениями.

Найти:

Выразить векторы $\vec{BC}$, $\vec{AB}$, $\vec{CN}$, $\vec{DM}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Решение:

Пусть $\vec{AB} = \vec{x}$ и $\vec{BC} = \vec{y}$.

Для прямоугольника $ABCD$ имеем следующие векторные соотношения:

$\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{y}$

$\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{x}$ (векторы противоположно направлены)

Даны векторы $\vec{a} = \vec{AC}$ и $\vec{b} = \vec{BD}$. Выразим их через $\vec{x}$ и $\vec{y}$ с использованием правила сложения векторов (правило треугольника):

$\vec{a} = \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{x} + \vec{y}$

$\vec{b} = \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{y} + (-\vec{x}) = \vec{y} - \vec{x}$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных векторных уравнений:

1) $ \vec{a} = \vec{x} + \vec{y} $

2) $ \vec{b} = \vec{y} - \vec{x} $

Для нахождения $\vec{y}$ (т.е. $\vec{BC}$) сложим уравнения (1) и (2):

$ (\vec{x} + \vec{y}) + (\vec{y} - \vec{x}) = \vec{a} + \vec{b} $

$ 2\vec{y} = \vec{a} + \vec{b} $

$ \vec{y} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) $

Так как $\vec{y} = \vec{BC}$, то:

$ \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) $

Для нахождения $\vec{x}$ (т.е. $\vec{AB}$) вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$ (\vec{x} + \vec{y}) - (\vec{y} - \vec{x}) = \vec{a} - \vec{b} $

$ \vec{x} + \vec{y} - \vec{y} + \vec{x} = \vec{a} - \vec{b} $

$ 2\vec{x} = \vec{a} - \vec{b} $

$ \vec{x} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b}) $

Так как $\vec{x} = \vec{AB}$, то:

$ \vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b}) $

Теперь выразим остальные требуемые векторы.

Выразите вектор $\vec{BC}$

Как показано выше, сложив векторные уравнения, мы получили:

Ответ: $\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$

Выразите вектор $\vec{AB}$

Как показано выше, вычтя векторные уравнения, мы получили:

Ответ: $\vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$

Выразите вектор $\vec{CN}$

По условию, точка $N$ является серединой стороны $CD$. Это означает, что вектор $\vec{CN}$ составляет половину вектора $\vec{CD}$ и сонаправлен с ним:

$\vec{CN} = \frac{1}{2}\vec{CD}$

В прямоугольнике вектор $\vec{CD}$ противоположен вектору $\vec{AB}$:

$\vec{CD} = -\vec{AB}$

Подставим это в выражение для $\vec{CN}$:

$\vec{CN} = \frac{1}{2}(-\vec{AB})$

Теперь подставим ранее найденное выражение для $\vec{AB}$:

$\vec{CN} = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})\right)$

$\vec{CN} = -\frac{1}{4}(\vec{a} - \vec{b})$

Раскрыв скобки и изменив знаки, получаем:

$\vec{CN} = \frac{1}{4}(\vec{b} - \vec{a})$

Ответ: $\vec{CN} = \frac{1}{4}(\vec{b} - \vec{a})$

Выразите вектор $\vec{DM}$

По условию, точка $M$ лежит на стороне $AD$ так, что $AM : MD = 1 : 2$. Это означает, что отрезок $AD$ разделён точкой $M$ на три части, и $MD$ составляет две из этих частей. Следовательно, вектор $\vec{MD}$ сонаправлен с $\vec{AD}$ и равен $\frac{2}{3}$ его длины:

$\vec{MD} = \frac{2}{3}\vec{AD}$

В прямоугольнике вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$:

$\vec{AD} = \vec{BC}$

Подставим это в выражение для $\vec{MD}$:

$\vec{MD} = \frac{2}{3}\vec{BC}$

Вектор $\vec{DM}$ противоположен вектору $\vec{MD}$:

$\vec{DM} = -\vec{MD}$

$\vec{DM} = -\frac{2}{3}\vec{BC}$

Теперь подставим ранее найденное выражение для $\vec{BC}$:

$\vec{DM} = -\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\right)$

$\vec{DM} = -\frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b})$

Ответ: $\vec{DM} = -\frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b})$

65. Начертите неколлинеарные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, как на рисунке 60. Постройте вектор, равный:

а) $\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$;

б) $\frac{1}{2}\vec{a} - 2\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{c}$.

Рисунок 60

Дано:

Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ представлены на координатной сетке (Рисунок 60).Пусть одна клетка сетки соответствует одной единице длины.Исходя из рисунка, определим координаты векторов, предполагая, что их начало находится в точке $(0,0)$ для определения компонент:

• Вектор $\vec{a}$: его конец находится в точке $(3,3)$ относительно начала. Следовательно, $\vec{a} = (3,3)$.

• Вектор $\vec{b}$: он направлен строго вниз и имеет длину 3 единицы. Следовательно, $\vec{b} = (0,-3)$.

• Вектор $\vec{c}$: его конец находится в точке $(4,-2)$ относительно начала. Следовательно, $\vec{c} = (4,-2)$.

Перевод данных в систему СИ не требуется, так как задача является геометрической и оперирует безразмерными единицами сетки.

Найти:

Построить векторы, равные:

• а) $\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$

• б) $\frac{1}{2}\vec{a} - 2\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{c}$

Решение

Для построения искомых векторов воспользуемся правилами умножения вектора на скаляр и сложения/вычитания векторов по их координатам.

а) $\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$

Вычислим компоненты каждого слагаемого:

• Вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(0,-3)$.

• Вектор $-\frac{2}{3}\vec{a}$: умножим каждую координату вектора $\vec{a}=(3,3)$ на $-\frac{2}{3}$. $ -\frac{2}{3}\vec{a} = (-\frac{2}{3} \cdot 3, -\frac{2}{3} \cdot 3) = (-2,-2) $. Этот вектор имеет направление, противоположное вектору $\vec{a}$, и его длина составляет две трети длины вектора $\vec{a}$.

• Вектор $\frac{1}{2}\vec{c}$: умножим каждую координату вектора $\vec{c}=(4,-2)$ на $\frac{1}{2}$. $ \frac{1}{2}\vec{c} = (\frac{1}{2} \cdot 4, \frac{1}{2} \cdot (-2)) = (2,-1) $. Этот вектор имеет то же направление, что и вектор $\vec{c}$, и его длина составляет половину длины вектора $\vec{c}$.

Теперь сложим полученные векторы:

$ \vec{R_a} = \vec{b} + (-\frac{2}{3}\vec{a}) + (\frac{1}{2}\vec{c}) = (0,-3) + (-2,-2) + (2,-1) $

Суммируем соответствующие координаты:

$ \vec{R_a} = (0 - 2 + 2, -3 - 2 - 1) = (0, -6) $.

Для построения данного вектора на сетке можно применить правило многоугольника. Отложите вектор $\vec{b}$ из произвольной точки (например, начала координат). Затем от конца вектора $\vec{b}$ отложите вектор $-\frac{2}{3}\vec{a}$. Наконец, от конца вектора $-\frac{2}{3}\vec{a}$ отложите вектор $\frac{1}{2}\vec{c}$. Вектор, соединяющий начало первого вектора $\vec{b}$ с концом последнего вектора $\frac{1}{2}\vec{c}$, будет искомым вектором $(0,-6)$. Этот вектор направлен строго вниз и имеет длину 6 единиц.

Ответ: $ (0,-6) $

б) $\frac{1}{2}\vec{a} - 2\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{c}$

Вычислим компоненты каждого слагаемого:

• Вектор $\frac{1}{2}\vec{a}$: умножим каждую координату вектора $\vec{a}=(3,3)$ на $\frac{1}{2}$. $ \frac{1}{2}\vec{a} = (\frac{1}{2} \cdot 3, \frac{1}{2} \cdot 3) = (1.5,1.5) $. Этот вектор имеет то же направление, что и вектор $\vec{a}$, и его длина составляет половину длины вектора $\vec{a}$.

• Вектор $-2\vec{b}$: умножим каждую координату вектора $\vec{b}=(0,-3)$ на $-2$. $ -2\vec{b} = (-2 \cdot 0, -2 \cdot (-3)) = (0,6) $. Этот вектор имеет направление, противоположное вектору $\vec{b}$ (то есть вверх), и его длина в два раза больше длины вектора $\vec{b}$.

• Вектор $-\frac{1}{4}\vec{c}$: умножим каждую координату вектора $\vec{c}=(4,-2)$ на $-\frac{1}{4}$. $ -\frac{1}{4}\vec{c} = (-\frac{1}{4} \cdot 4, -\frac{1}{4} \cdot (-2)) = (-1,0.5) $. Этот вектор имеет направление, противоположное вектору $\vec{c}$, и его длина составляет четверть длины вектора $\vec{c}$.

Теперь сложим полученные векторы:

$ \vec{R_b} = (\frac{1}{2}\vec{a}) + (-2\vec{b}) + (-\frac{1}{4}\vec{c}) = (1.5,1.5) + (0,6) + (-1,0.5) $

Суммируем соответствующие координаты:

$ \vec{R_b} = (1.5 + 0 - 1, 1.5 + 6 + 0.5) = (0.5, 8) $.

Для построения данного вектора на сетке также можно применить правило многоугольника. Отложите вектор $\frac{1}{2}\vec{a}$ из произвольной точки (например, начала координат). Затем от конца вектора $\frac{1}{2}\vec{a}$ отложите вектор $-2\vec{b}$. Наконец, от конца вектора $-2\vec{b}$ отложите вектор $-\frac{1}{4}\vec{c}$. Вектор, соединяющий начало первого вектора $\frac{1}{2}\vec{a}$ с концом последнего вектора $-\frac{1}{4}\vec{c}$, будет искомым вектором $(0.5,8)$. Этот вектор направлен вправо и вверх, с горизонтальной компонентой 0.5 и вертикальной компонентой 8.

Ответ: $ (0.5,8) $

Рисунок 60

66. Даны неколлинеарные векторы $ \vec{m} = 2\vec{a} - \vec{b} $ и $ \vec{n} = -\vec{a} + 3\vec{b} $. Могут ли быть коллинеарными векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $? Ответ объясните.

Дано:

Векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ неколлинеарны.

$\vec{m} = 2\vec{a} - \vec{b}$

$\vec{n} = -\vec{a} + 3\vec{b}$

Найти:

Могут ли быть коллинеарными векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$?

Решение:

Предположим противное, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Это означает, что один из них может быть выражен как скалярное произведение другого, то есть существует такое скалярное число $k$, что $\vec{a} = k\vec{b}$.

Подставим это соотношение в выражения для векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$:

$\vec{m} = 2(k\vec{b}) - \vec{b} = (2k - 1)\vec{b}$

$\vec{n} = -(k\vec{b}) + 3\vec{b} = (-k + 3)\vec{b}$

Рассмотрим возможные случаи:

1. Если $\vec{b} = \vec{0}$, то из $\vec{a} = k\vec{b}$ следует, что $\vec{a} = \vec{0}$. В этом случае $\vec{m} = 2\vec{0} - \vec{0} = \vec{0}$ и $\vec{n} = -\vec{0} + 3\vec{0} = \vec{0}$. Нулевые векторы по определению являются коллинеарными. Это противоречит условию задачи, что векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ неколлинеарны. Следовательно, $\vec{b} \ne \vec{0}$.

2. Если $\vec{b} \ne \vec{0}$, то из выражений $\vec{m} = (2k - 1)\vec{b}$ и $\vec{n} = (-k + 3)\vec{b}$ следует, что оба вектора $\vec{m}$ и $\vec{n}$ являются скалярными кратными одного и того же ненулевого вектора $\vec{b}$. Это означает, что векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ должны быть коллинеарными. (Например, если $2k-1 \ne 0$ и $-k+3 \ne 0$, то $\vec{m} = \frac{2k-1}{-k+3}\vec{n}$. Если же один из коэффициентов равен нулю, например, $2k-1=0$, то $\vec{m}=\vec{0}$, а нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору $\vec{n}$. Аналогично, если $-k+3=0$, то $\vec{n}=\vec{0}$, и $\vec{n}$ коллинеарен $\vec{m}$.)

Таким образом, если бы векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ были коллинеарными, то векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ также оказались бы коллинеарными.

Однако, по условию задачи, векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ неколлинеарны. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о коллинеарности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неверно.

Ответ:

Нет, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не могут быть коллинеарными. Если бы они были коллинеарны, то векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$, являющиеся их линейными комбинациями, также оказались бы коллинеарными, что противоречит условию задачи, по которому $\vec{m}$ и $\vec{n}$ неколлинеарны.

67. В трапеции ABCD точки M и K – середины боковых сторон AB и CD соответственно, $AD = 16 \text{ см}$, $BC = 12 \text{ см}$. Найдите такие числа x и y, что $\vec{AD} = x\vec{MK}$, $\vec{CB} = y\vec{MK}$.

Дано:

трапеция $ABCD$.

$M$ - середина боковой стороны $AB$.

$K$ - середина боковой стороны $CD$.

длина основания $AD = 16 \text{ см}$.

длина основания $BC = 12 \text{ см}$.

векторное равенство $\vec{AD} = x\vec{MK}$.

векторное равенство $\vec{CB} = y\vec{MK}$.

Перевод в СИ:

$AD = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$.

$BC = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$.

(числа $x$ и $y$ являются безразмерными коэффициентами, поэтому перевод в СИ не повлияет на их значения, но выполнен для соблюдения требований).

Найти:

числа $x$ и $y$.

Решение:

по свойству средней линии трапеции, отрезок $MK$, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией. средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и ее длина равна полусумме длин оснований.

в данной трапеции $ABCD$, основаниями являются $AD$ и $BC$. отрезок $MK$ - средняя линия.

следовательно, $\vec{MK} \parallel \vec{AD}$ и $\vec{MK} \parallel \vec{BC}$.

длина средней линии $MK$ вычисляется по формуле: $MK = \frac{AD + BC}{2}$.

подставим данные значения: $MK = \frac{16 \text{ см} + 12 \text{ см}}{2} = \frac{28 \text{ см}}{2} = 14 \text{ см}$.

рассмотрим первое векторное равенство: $\vec{AD} = x\vec{MK}$.

поскольку вектор $\vec{AD}$ и вектор $\vec{MK}$ сонаправлены (средняя линия трапеции направлена так же, как и основания), то скаляр $x$ должен быть положительным.

равенство векторов означает равенство их модулей с учетом знака коэффициента:

$|\vec{AD}| = |x| \cdot |\vec{MK}|$.

так как $AD > 0$, $MK > 0$ и $x > 0$, то $AD = x \cdot MK$.

выразим $x$: $x = \frac{AD}{MK}$.

подставим формулу для $MK$: $x = \frac{AD}{\frac{AD + BC}{2}} = \frac{2 \cdot AD}{AD + BC}$.

подставим численные значения: $x = \frac{2 \cdot 16}{16 + 12} = \frac{32}{28} = \frac{8}{7}$.

рассмотрим второе векторное равенство: $\vec{CB} = y\vec{MK}$.

вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$. поскольку вектор $\vec{BC}$ сонаправлен с вектором $\vec{MK}$ (как и $\vec{AD}$), то вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{MK}$.

следовательно, скаляр $y$ должен быть отрицательным.

равенство векторов означает равенство их модулей с учетом знака коэффициента:

$|\vec{CB}| = |y| \cdot |\vec{MK}|$.

так как длина отрезка $CB$ равна $BC$, то $BC = |y| \cdot MK$.

выразим $|y|$: $|y| = \frac{BC}{MK}$.

подставим формулу для $MK$: $|y| = \frac{BC}{\frac{AD + BC}{2}} = \frac{2 \cdot BC}{AD + BC}$.

поскольку $y$ является отрицательным числом, $y = -\frac{2 \cdot BC}{AD + BC}$.

подставим численные значения: $y = -\frac{2 \cdot 12}{16 + 12} = -\frac{24}{28} = -\frac{6}{7}$.

Ответ:

$x = \frac{8}{7}$, $y = -\frac{6}{7}$.

68. Дан четырехугольник ABCD и точки M и N - середины его сторон AB и CD соответственно. Докажите, что $\vec{MN} = 0,5(\vec{BC} + \vec{AD})$.

Дано

Дан четырехугольник $ABCD$.
Точка $M$ — середина стороны $AB$.
Точка $N$ — середина стороны $CD$.

Найти:

Доказать, что $\overrightarrow{MN} = 0.5(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD})$.

Решение

Для доказательства воспользуемся свойством радиус-вектора середины отрезка и правилом вычитания векторов. Пусть $O$ — произвольная точка в пространстве, которую мы выберем в качестве начала координат для наших векторов. Тогда радиус-векторы точек $A, B, C, D, M, N$ будут обозначаться как $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ соответственно.

Поскольку точка $M$ является серединой отрезка $AB$, ее радиус-вектор может быть выражен как среднее арифметическое радиус-векторов точек $A$ и $B$:
$\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$

Аналогично, поскольку точка $N$ является серединой отрезка $CD$, ее радиус-вектор равен:
$\overrightarrow{ON} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{2}$

Вектор $\overrightarrow{MN}$ можно представить как разность радиус-вектора конечной точки $N$ и радиус-вектора начальной точки $M$:
$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}$

Подставим выражения для $\overrightarrow{OM}$ и $\overrightarrow{ON}$ в это уравнение:
$\overrightarrow{MN} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{2} - \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$

Объединим слагаемые с общим знаменателем:
$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB})$

Перегруппируем члены в скобках таким образом, чтобы получить векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$. Вектор $\overrightarrow{BC}$ равен $\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}$, а вектор $\overrightarrow{AD}$ равен $\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}$.
$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}((\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}))$

Заменим разности радиус-векторов соответствующими векторами:
$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD})$

Таким образом, мы доказали требуемое соотношение.

Ответ:

Доказано, что $\overrightarrow{MN} = 0.5(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD})$.

69. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD точки M и K – середины ее диагоналей AC и BD соответственно.

а) Выразите вектор $\overrightarrow{MK}$ через векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$.

б) Найдите $\left|\overrightarrow{MK}\right|$, если $BC = 6$ см, $AD = 16$ см.

Дано:

• Трапеция ABCD с основаниями BC и AD.
• M - середина диагонали AC.
• K - середина диагонали BD.
• BC = 6 см.
• AD = 16 см.

Перевод в СИ:

• Данные величины длин (BC и AD) представлены в сантиметрах. Поскольку для решения задачи не требуются другие физические величины, и ответ должен быть также в единицах длины, перевод в метры (единицы СИ) не является строго обязательным и может быть пропущен. Конечный ответ будет дан в сантиметрах.

Найти:

а) Выразить вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$.

б) Найти $|\vec{MK}|$.

Решение:

а) Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$

Пусть A, B, C, D обозначают радиус-векторы соответствующих вершин трапеции относительно некоторого произвольного начала координат.

Так как точка M является серединой диагонали AC, её радиус-вектор $\vec{M}$ может быть выражен как среднее арифметическое радиус-векторов точек A и C:

$\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}$

Аналогично, так как точка K является серединой диагонали BD, её радиус-вектор $\vec{K}$ может быть выражен как:

$\vec{K} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2}$

Вектор $\vec{MK}$ определяется как разность радиус-векторов конечной и начальной точки:

$\vec{MK} = \vec{K} - \vec{M}$

Подставим найденные выражения для $\vec{M}$ и $\vec{K}$:

$\vec{MK} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} - \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}$

$\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{B} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{C})$

Перегруппируем члены в скобках, чтобы получить известные нам векторы:

$\vec{MK} = \frac{1}{2}((\vec{D} - \vec{A}) - (\vec{C} - \vec{B}))$

Заметим, что $\vec{D} - \vec{A}$ является вектором $\vec{AD}$, а $\vec{C} - \vec{B}$ является вектором $\vec{BC}$.

Таким образом, выражение для вектора $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ будет:

$\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{BC})$

Ответ: $\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{BC})$

б) Найдите $|\vec{MK}|$, если $BC = 6$ см, $AD = 16$ см

Из пункта а) мы имеем выражение для вектора $\vec{MK}$:

$\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{BC})$

В трапеции ABCD основания BC и AD параллельны. При стандартном обозначении вершин трапеции векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены (лежат на параллельных прямых и указывают в одном направлении).

Модуль разности двух сонаправленных векторов равен абсолютной величине разности их модулей. Поскольку AD является большей основой (16 см), а BC меньшей (6 см), то $AD > BC$.

Следовательно, модуль вектора $\vec{AD} - \vec{BC}$ равен $AD - BC$:

$|\vec{AD} - \vec{BC}| = AD - BC$

Теперь найдем модуль вектора $\vec{MK}$:

$|\vec{MK}| = \left| \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{BC}) \right|$

$|\vec{MK}| = \frac{1}{2} |\vec{AD} - \vec{BC}|$

$|\vec{MK}| = \frac{1}{2} (AD - BC)$

Подставим заданные значения $AD = 16$ см и $BC = 6$ см:

$|\vec{MK}| = \frac{1}{2} (16 \text{ см} - 6 \text{ см})$

$|\vec{MK}| = \frac{1}{2} (10 \text{ см})$

$|\vec{MK}| = 5 \text{ см}$

Ответ: $5 \text{ см}$