Номер 65, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

65. Начертите неколлинеарные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, как на рисунке 60. Постройте вектор, равный:

а) $\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$;

б) $\frac{1}{2}\vec{a} - 2\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{c}$.

Рисунок 60

Дано:

Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ представлены на координатной сетке (Рисунок 60).Пусть одна клетка сетки соответствует одной единице длины.Исходя из рисунка, определим координаты векторов, предполагая, что их начало находится в точке $(0,0)$ для определения компонент:

• Вектор $\vec{a}$: его конец находится в точке $(3,3)$ относительно начала. Следовательно, $\vec{a} = (3,3)$.

• Вектор $\vec{b}$: он направлен строго вниз и имеет длину 3 единицы. Следовательно, $\vec{b} = (0,-3)$.

• Вектор $\vec{c}$: его конец находится в точке $(4,-2)$ относительно начала. Следовательно, $\vec{c} = (4,-2)$.

Перевод данных в систему СИ не требуется, так как задача является геометрической и оперирует безразмерными единицами сетки.

Найти:

Построить векторы, равные:

• а) $\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$

• б) $\frac{1}{2}\vec{a} - 2\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{c}$

Решение

Для построения искомых векторов воспользуемся правилами умножения вектора на скаляр и сложения/вычитания векторов по их координатам.

а) $\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$

Вычислим компоненты каждого слагаемого:

• Вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(0,-3)$.

• Вектор $-\frac{2}{3}\vec{a}$: умножим каждую координату вектора $\vec{a}=(3,3)$ на $-\frac{2}{3}$. $ -\frac{2}{3}\vec{a} = (-\frac{2}{3} \cdot 3, -\frac{2}{3} \cdot 3) = (-2,-2) $. Этот вектор имеет направление, противоположное вектору $\vec{a}$, и его длина составляет две трети длины вектора $\vec{a}$.

• Вектор $\frac{1}{2}\vec{c}$: умножим каждую координату вектора $\vec{c}=(4,-2)$ на $\frac{1}{2}$. $ \frac{1}{2}\vec{c} = (\frac{1}{2} \cdot 4, \frac{1}{2} \cdot (-2)) = (2,-1) $. Этот вектор имеет то же направление, что и вектор $\vec{c}$, и его длина составляет половину длины вектора $\vec{c}$.

Теперь сложим полученные векторы:

$ \vec{R_a} = \vec{b} + (-\frac{2}{3}\vec{a}) + (\frac{1}{2}\vec{c}) = (0,-3) + (-2,-2) + (2,-1) $

Суммируем соответствующие координаты:

$ \vec{R_a} = (0 - 2 + 2, -3 - 2 - 1) = (0, -6) $.

Для построения данного вектора на сетке можно применить правило многоугольника. Отложите вектор $\vec{b}$ из произвольной точки (например, начала координат). Затем от конца вектора $\vec{b}$ отложите вектор $-\frac{2}{3}\vec{a}$. Наконец, от конца вектора $-\frac{2}{3}\vec{a}$ отложите вектор $\frac{1}{2}\vec{c}$. Вектор, соединяющий начало первого вектора $\vec{b}$ с концом последнего вектора $\frac{1}{2}\vec{c}$, будет искомым вектором $(0,-6)$. Этот вектор направлен строго вниз и имеет длину 6 единиц.

Ответ: $ (0,-6) $

б) $\frac{1}{2}\vec{a} - 2\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{c}$

Вычислим компоненты каждого слагаемого:

• Вектор $\frac{1}{2}\vec{a}$: умножим каждую координату вектора $\vec{a}=(3,3)$ на $\frac{1}{2}$. $ \frac{1}{2}\vec{a} = (\frac{1}{2} \cdot 3, \frac{1}{2} \cdot 3) = (1.5,1.5) $. Этот вектор имеет то же направление, что и вектор $\vec{a}$, и его длина составляет половину длины вектора $\vec{a}$.

• Вектор $-2\vec{b}$: умножим каждую координату вектора $\vec{b}=(0,-3)$ на $-2$. $ -2\vec{b} = (-2 \cdot 0, -2 \cdot (-3)) = (0,6) $. Этот вектор имеет направление, противоположное вектору $\vec{b}$ (то есть вверх), и его длина в два раза больше длины вектора $\vec{b}$.

• Вектор $-\frac{1}{4}\vec{c}$: умножим каждую координату вектора $\vec{c}=(4,-2)$ на $-\frac{1}{4}$. $ -\frac{1}{4}\vec{c} = (-\frac{1}{4} \cdot 4, -\frac{1}{4} \cdot (-2)) = (-1,0.5) $. Этот вектор имеет направление, противоположное вектору $\vec{c}$, и его длина составляет четверть длины вектора $\vec{c}$.

Теперь сложим полученные векторы:

$ \vec{R_b} = (\frac{1}{2}\vec{a}) + (-2\vec{b}) + (-\frac{1}{4}\vec{c}) = (1.5,1.5) + (0,6) + (-1,0.5) $

Суммируем соответствующие координаты:

$ \vec{R_b} = (1.5 + 0 - 1, 1.5 + 6 + 0.5) = (0.5, 8) $.

Для построения данного вектора на сетке также можно применить правило многоугольника. Отложите вектор $\frac{1}{2}\vec{a}$ из произвольной точки (например, начала координат). Затем от конца вектора $\frac{1}{2}\vec{a}$ отложите вектор $-2\vec{b}$. Наконец, от конца вектора $-2\vec{b}$ отложите вектор $-\frac{1}{4}\vec{c}$. Вектор, соединяющий начало первого вектора $\frac{1}{2}\vec{a}$ с концом последнего вектора $-\frac{1}{4}\vec{c}$, будет искомым вектором $(0.5,8)$. Этот вектор направлен вправо и вверх, с горизонтальной компонентой 0.5 и вертикальной компонентой 8.

Ответ: $ (0.5,8) $