Номер 72, страница 35 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

72. На сторонах AB, BC, CD и AD четырехугольника ABCD отмечены точки K, L, M и N так, что $\frac{AK}{KB} = \frac{AN}{ND} = \frac{CL}{LB} = \frac{CM}{MD} = 3$.

Докажите, что четырехугольник KLMN – параллелограмм.

Дано: Четырехугольник $ABCD$. Точки $K, L, M, N$ отмечены на сторонах $AB, BC, CD, AD$ соответственно. Соотношения длин отрезков: $\frac{AK}{KB} = \frac{AN}{ND} = \frac{CL}{LB} = \frac{CM}{MD} = 3$.

Найти: Доказать, что четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом.

Решение: Для доказательства того, что четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом, используем векторный метод. Пусть вершины четырехугольника $ABCD$ заданы радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ соответственно.

Согласно условию, точки $K, L, M, N$ делят соответствующие стороны в заданных отношениях. Используем формулу для радиус-вектора точки, делящей отрезок в заданном отношении. Если точка $P$ делит отрезок $XY$ в отношении $XP:PY = m:n$, то ее радиус-вектор $\vec{p} = \frac{n\vec{x} + m\vec{y}}{m+n}$.

1. Точка $K$ на стороне $AB$ делит ее в отношении $AK:KB = 3:1$. Радиус-вектор точки $K$: $\vec{k} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{b}}{1+3} = \frac{\vec{a} + 3\vec{b}}{4}$.

2. Точка $L$ на стороне $BC$ делит ее в отношении $CL:LB = 3:1$. Это означает, что $L$ делит отрезок $CB$ в отношении $1:3$ (от $C$ к $B$), или, что $L$ делит отрезок $BC$ в отношении $BL:LC = 1:3$. Радиус-вектор точки $L$: $\vec{l} = \frac{3 \cdot \vec{b} + 1 \cdot \vec{c}}{3+1} = \frac{3\vec{b} + \vec{c}}{4}$.

3. Точка $M$ на стороне $CD$ делит ее в отношении $CM:MD = 3:1$. Радиус-вектор точки $M$: $\vec{m} = \frac{1 \cdot \vec{c} + 3 \cdot \vec{d}}{1+3} = \frac{\vec{c} + 3\vec{d}}{4}$.

4. Точка $N$ на стороне $AD$ делит ее в отношении $AN:ND = 3:1$. Радиус-вектор точки $N$: $\vec{n} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{d}}{1+3} = \frac{\vec{a} + 3\vec{d}}{4}$.

Для того чтобы четырехугольник $KLMN$ был параллелограммом, достаточно доказать, что его противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это эквивалентно тому, что векторы, представляющие эти стороны, равны. Например, если $\vec{KL} = \vec{NM}$.

Найдем вектор $\vec{KL}$: $\vec{KL} = \vec{l} - \vec{k} = \left(\frac{3\vec{b} + \vec{c}}{4}\right) - \left(\frac{\vec{a} + 3\vec{b}}{4}\right) = \frac{3\vec{b} + \vec{c} - \vec{a} - 3\vec{b}}{4} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{4}$.

Найдем вектор $\vec{NM}$: $\vec{NM} = \vec{m} - \vec{n} = \left(\frac{\vec{c} + 3\vec{d}}{4}\right) - \left(\frac{\vec{a} + 3\vec{d}}{4}\right) = \frac{\vec{c} + 3\vec{d} - \vec{a} - 3\vec{d}}{4} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{4}$.

Так как $\vec{KL} = \vec{NM}$, это означает, что сторона $KL$ параллельна стороне $NM$ и их длины равны. Следовательно, четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом по определению.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом.