Номер 69, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

69. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD точки M и K – середины ее диагоналей AC и BD соответственно.

а) Выразите вектор $\overrightarrow{MK}$ через векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$.

б) Найдите $\left|\overrightarrow{MK}\right|$, если $BC = 6$ см, $AD = 16$ см.

Дано:

• Трапеция ABCD с основаниями BC и AD.
• M - середина диагонали AC.
• K - середина диагонали BD.
• BC = 6 см.
• AD = 16 см.

Перевод в СИ:

• Данные величины длин (BC и AD) представлены в сантиметрах. Поскольку для решения задачи не требуются другие физические величины, и ответ должен быть также в единицах длины, перевод в метры (единицы СИ) не является строго обязательным и может быть пропущен. Конечный ответ будет дан в сантиметрах.

Найти:

а) Выразить вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$.

б) Найти $|\vec{MK}|$.

Решение:

а) Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$

Пусть A, B, C, D обозначают радиус-векторы соответствующих вершин трапеции относительно некоторого произвольного начала координат.

Так как точка M является серединой диагонали AC, её радиус-вектор $\vec{M}$ может быть выражен как среднее арифметическое радиус-векторов точек A и C:

$\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}$

Аналогично, так как точка K является серединой диагонали BD, её радиус-вектор $\vec{K}$ может быть выражен как:

$\vec{K} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2}$

Вектор $\vec{MK}$ определяется как разность радиус-векторов конечной и начальной точки:

$\vec{MK} = \vec{K} - \vec{M}$

Подставим найденные выражения для $\vec{M}$ и $\vec{K}$:

$\vec{MK} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} - \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}$

$\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{B} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{C})$

Перегруппируем члены в скобках, чтобы получить известные нам векторы:

$\vec{MK} = \frac{1}{2}((\vec{D} - \vec{A}) - (\vec{C} - \vec{B}))$

Заметим, что $\vec{D} - \vec{A}$ является вектором $\vec{AD}$, а $\vec{C} - \vec{B}$ является вектором $\vec{BC}$.

Таким образом, выражение для вектора $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ будет:

$\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{BC})$

Ответ: $\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{BC})$

б) Найдите $|\vec{MK}|$, если $BC = 6$ см, $AD = 16$ см

Из пункта а) мы имеем выражение для вектора $\vec{MK}$:

$\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{BC})$

В трапеции ABCD основания BC и AD параллельны. При стандартном обозначении вершин трапеции векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены (лежат на параллельных прямых и указывают в одном направлении).

Модуль разности двух сонаправленных векторов равен абсолютной величине разности их модулей. Поскольку AD является большей основой (16 см), а BC меньшей (6 см), то $AD > BC$.

Следовательно, модуль вектора $\vec{AD} - \vec{BC}$ равен $AD - BC$:

$|\vec{AD} - \vec{BC}| = AD - BC$

Теперь найдем модуль вектора $\vec{MK}$:

$|\vec{MK}| = \left| \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{BC}) \right|$

$|\vec{MK}| = \frac{1}{2} |\vec{AD} - \vec{BC}|$

$|\vec{MK}| = \frac{1}{2} (AD - BC)$

Подставим заданные значения $AD = 16$ см и $BC = 6$ см:

$|\vec{MK}| = \frac{1}{2} (16 \text{ см} - 6 \text{ см})$

$|\vec{MK}| = \frac{1}{2} (10 \text{ см})$

$|\vec{MK}| = 5 \text{ см}$

Ответ: $5 \text{ см}$