Номер 66, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

Рисунок 60

66. Даны неколлинеарные векторы $ \vec{m} = 2\vec{a} - \vec{b} $ и $ \vec{n} = -\vec{a} + 3\vec{b} $. Могут ли быть коллинеарными векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $? Ответ объясните.

Дано:

Векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ неколлинеарны.

$\vec{m} = 2\vec{a} - \vec{b}$

$\vec{n} = -\vec{a} + 3\vec{b}$

Найти:

Могут ли быть коллинеарными векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$?

Решение:

Предположим противное, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Это означает, что один из них может быть выражен как скалярное произведение другого, то есть существует такое скалярное число $k$, что $\vec{a} = k\vec{b}$.

Подставим это соотношение в выражения для векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$:

$\vec{m} = 2(k\vec{b}) - \vec{b} = (2k - 1)\vec{b}$

$\vec{n} = -(k\vec{b}) + 3\vec{b} = (-k + 3)\vec{b}$

Рассмотрим возможные случаи:

1. Если $\vec{b} = \vec{0}$, то из $\vec{a} = k\vec{b}$ следует, что $\vec{a} = \vec{0}$. В этом случае $\vec{m} = 2\vec{0} - \vec{0} = \vec{0}$ и $\vec{n} = -\vec{0} + 3\vec{0} = \vec{0}$. Нулевые векторы по определению являются коллинеарными. Это противоречит условию задачи, что векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ неколлинеарны. Следовательно, $\vec{b} \ne \vec{0}$.

2. Если $\vec{b} \ne \vec{0}$, то из выражений $\vec{m} = (2k - 1)\vec{b}$ и $\vec{n} = (-k + 3)\vec{b}$ следует, что оба вектора $\vec{m}$ и $\vec{n}$ являются скалярными кратными одного и того же ненулевого вектора $\vec{b}$. Это означает, что векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ должны быть коллинеарными. (Например, если $2k-1 \ne 0$ и $-k+3 \ne 0$, то $\vec{m} = \frac{2k-1}{-k+3}\vec{n}$. Если же один из коэффициентов равен нулю, например, $2k-1=0$, то $\vec{m}=\vec{0}$, а нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору $\vec{n}$. Аналогично, если $-k+3=0$, то $\vec{n}=\vec{0}$, и $\vec{n}$ коллинеарен $\vec{m}$.)

Таким образом, если бы векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ были коллинеарными, то векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ также оказались бы коллинеарными.

Однако, по условию задачи, векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ неколлинеарны. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о коллинеарности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неверно.

Ответ:

Нет, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не могут быть коллинеарными. Если бы они были коллинеарны, то векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$, являющиеся их линейными комбинациями, также оказались бы коллинеарными, что противоречит условию задачи, по которому $\vec{m}$ и $\vec{n}$ неколлинеарны.