Номер 64, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

64. На сторонах $AD$ и $CD$ прямоугольника $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $AM : MD = 1 : 2$, а $N$ - середина $CD$. Даны векторы $\vec{a} = \vec{AC}$ и $\vec{b} = \vec{BD}$. Выразите через $\vec{a}$ и $\vec{b}$ векторы $\vec{BC}, \vec{AB}, \vec{CN}, \vec{DM}$.

Дано:

Прямоугольник $ABCD$.

Точки $M$ на $AD$ и $N$ на $CD$.

$AM : MD = 1 : 2$.

$N$ - середина $CD$.

Векторы $\vec{a} = \vec{AC}$ и $\vec{b} = \vec{BD}$.

Перевод в СИ:

Данные величины не требуют перевода в систему СИ, так как являются абстрактными векторами и отношениями.

Найти:

Выразить векторы $\vec{BC}$, $\vec{AB}$, $\vec{CN}$, $\vec{DM}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Решение:

Пусть $\vec{AB} = \vec{x}$ и $\vec{BC} = \vec{y}$.

Для прямоугольника $ABCD$ имеем следующие векторные соотношения:

$\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{y}$

$\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{x}$ (векторы противоположно направлены)

Даны векторы $\vec{a} = \vec{AC}$ и $\vec{b} = \vec{BD}$. Выразим их через $\vec{x}$ и $\vec{y}$ с использованием правила сложения векторов (правило треугольника):

$\vec{a} = \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{x} + \vec{y}$

$\vec{b} = \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{y} + (-\vec{x}) = \vec{y} - \vec{x}$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных векторных уравнений:

1) $ \vec{a} = \vec{x} + \vec{y} $

2) $ \vec{b} = \vec{y} - \vec{x} $

Для нахождения $\vec{y}$ (т.е. $\vec{BC}$) сложим уравнения (1) и (2):

$ (\vec{x} + \vec{y}) + (\vec{y} - \vec{x}) = \vec{a} + \vec{b} $

$ 2\vec{y} = \vec{a} + \vec{b} $

$ \vec{y} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) $

Так как $\vec{y} = \vec{BC}$, то:

$ \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) $

Для нахождения $\vec{x}$ (т.е. $\vec{AB}$) вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$ (\vec{x} + \vec{y}) - (\vec{y} - \vec{x}) = \vec{a} - \vec{b} $

$ \vec{x} + \vec{y} - \vec{y} + \vec{x} = \vec{a} - \vec{b} $

$ 2\vec{x} = \vec{a} - \vec{b} $

$ \vec{x} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b}) $

Так как $\vec{x} = \vec{AB}$, то:

$ \vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b}) $

Теперь выразим остальные требуемые векторы.

Выразите вектор $\vec{BC}$

Как показано выше, сложив векторные уравнения, мы получили:

Ответ: $\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$

Выразите вектор $\vec{AB}$

Как показано выше, вычтя векторные уравнения, мы получили:

Ответ: $\vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$

Выразите вектор $\vec{CN}$

По условию, точка $N$ является серединой стороны $CD$. Это означает, что вектор $\vec{CN}$ составляет половину вектора $\vec{CD}$ и сонаправлен с ним:

$\vec{CN} = \frac{1}{2}\vec{CD}$

В прямоугольнике вектор $\vec{CD}$ противоположен вектору $\vec{AB}$:

$\vec{CD} = -\vec{AB}$

Подставим это в выражение для $\vec{CN}$:

$\vec{CN} = \frac{1}{2}(-\vec{AB})$

Теперь подставим ранее найденное выражение для $\vec{AB}$:

$\vec{CN} = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})\right)$

$\vec{CN} = -\frac{1}{4}(\vec{a} - \vec{b})$

Раскрыв скобки и изменив знаки, получаем:

$\vec{CN} = \frac{1}{4}(\vec{b} - \vec{a})$

Ответ: $\vec{CN} = \frac{1}{4}(\vec{b} - \vec{a})$

Выразите вектор $\vec{DM}$

По условию, точка $M$ лежит на стороне $AD$ так, что $AM : MD = 1 : 2$. Это означает, что отрезок $AD$ разделён точкой $M$ на три части, и $MD$ составляет две из этих частей. Следовательно, вектор $\vec{MD}$ сонаправлен с $\vec{AD}$ и равен $\frac{2}{3}$ его длины:

$\vec{MD} = \frac{2}{3}\vec{AD}$

В прямоугольнике вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$:

$\vec{AD} = \vec{BC}$

Подставим это в выражение для $\vec{MD}$:

$\vec{MD} = \frac{2}{3}\vec{BC}$

Вектор $\vec{DM}$ противоположен вектору $\vec{MD}$:

$\vec{DM} = -\vec{MD}$

$\vec{DM} = -\frac{2}{3}\vec{BC}$

Теперь подставим ранее найденное выражение для $\vec{BC}$:

$\vec{DM} = -\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\right)$

$\vec{DM} = -\frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b})$

Ответ: $\vec{DM} = -\frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b})$