Номер 60, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

60. Начертите неколлинеарные векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, как на рисунке 59. Постройте вектор, равный:

а) $ 2\vec{a} + \vec{b} $

б) $ \vec{a} - 0,5\vec{b} $

в) $ -\vec{a} - \vec{b} $

г) $ \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{5}{4}\vec{b} $

Рисунок 59

Дано:

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ заданы на сетке, как показано на рисунке 59.
Вектор $\vec{a}$ направлен горизонтально вправо и имеет длину, равную 3 единицам сетки.
Вектор $\vec{b}$ направлен вертикально вниз и имеет длину, равную 3 единицам сетки.

Найти:

Построить векторы: а) $2\vec{a} + \vec{b}$; б) $\vec{a} - 0.5\vec{b}$; в) $-\vec{a} - \vec{b}$; г) $\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{5}{4}\vec{b}$.

Решение:

Для построения требуемых векторов будем использовать правило треугольника (правило "начала-конца") для сложения векторов и умножение вектора на скаляр. Примем сторону одной клетки сетки за единичную длину.
Первым шагом необходимо начертить исходные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на сетке в соответствии с рисунком 59. Вектор $\vec{a}$ изображается как горизонтальная стрелка длиной 3 клетки вправо, а вектор $\vec{b}$ как вертикальная стрелка длиной 3 клетки вниз.

а) $2\vec{a} + \vec{b}$
Для построения вектора $2\vec{a} + \vec{b}$ необходимо:
1. От любой начальной точки начертить вектор $2\vec{a}$, который будет вдвое длиннее вектора $\vec{a}$ и иметь то же направление. То есть, это будет вектор длиной 6 единиц сетки, направленный горизонтально вправо.
2. От конца вектора $2\vec{a}$ начертить вектор $\vec{b}$. Это будет вектор длиной 3 единицы сетки, направленный вертикально вниз.
3. Искомый вектор $2\vec{a} + \vec{b}$ будет вектором, проведенным от начальной точки первого вектора ($2\vec{a}$) до конечной точки второго вектора ($\vec{b}$). Его компоненты будут $(6, -3)$ относительно начальной точки.

Ответ: Вектор $2\vec{a} + \vec{b}$ имеет компоненты $(6, -3)$ и строится как вектор от начала $2\vec{a}$ до конца $\vec{b}$ (приложенного к концу $2\vec{a}$).

б) $\vec{a} - 0.5\vec{b}$
Вектор $\vec{a} - 0.5\vec{b}$ можно представить как $\vec{a} + (-0.5\vec{b})$. Для его построения:
1. От любой начальной точки начертить вектор $\vec{a}$, который имеет длину 3 единицы сетки и направлен горизонтально вправо.
2. От конца вектора $\vec{a}$ начертить вектор $-0.5\vec{b}$. Вектор $-0.5\vec{b}$ будет иметь половину длины вектора $\vec{b}$ (т.е. $0.5 \times 3 = 1.5$ единицы сетки) и противоположное направление. Так как $\vec{b}$ направлен вниз, $-0.5\vec{b}$ будет направлен вертикально вверх.
3. Искомый вектор $\vec{a} - 0.5\vec{b}$ будет вектором, проведенным от начальной точки первого вектора ($\vec{a}$) до конечной точки второго вектора ($-0.5\vec{b}$). Его компоненты будут $(3, 1.5)$ относительно начальной точки.

Ответ: Вектор $\vec{a} - 0.5\vec{b}$ имеет компоненты $(3, 1.5)$ и строится как вектор от начала $\vec{a}$ до конца $-0.5\vec{b}$ (приложенного к концу $\vec{a}$).

в) $-\vec{a} - \vec{b}$
Вектор $-\vec{a} - \vec{b}$ можно представить как $(-\vec{a}) + (-\vec{b})$. Для его построения:
1. От любой начальной точки начертить вектор $-\vec{a}$. Он будет иметь ту же длину, что и $\vec{a}$ (3 единицы сетки), но противоположное направление, то есть горизонтально влево.
2. От конца вектора $-\vec{a}$ начертить вектор $-\vec{b}$. Он будет иметь ту же длину, что и $\vec{b}$ (3 единицы сетки), но противоположное направление, то есть вертикально вверх.
3. Искомый вектор $-\vec{a} - \vec{b}$ будет вектором, проведенным от начальной точки первого вектора ($-\vec{a}$) до конечной точки второго вектора ($-\vec{b}$). Его компоненты будут $(-3, 3)$ относительно начальной точки.

Ответ: Вектор $-\vec{a} - \vec{b}$ имеет компоненты $(-3, 3)$ и строится как вектор от начала $-\vec{a}$ до конца $-\vec{b}$ (приложенного к концу $-\vec{a}$).

г) $\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{5}{4}\vec{b}$
Для построения вектора $\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{5}{4}\vec{b}$ необходимо:
1. От любой начальной точки начертить вектор $\frac{4}{5}\vec{a}$. Его длина будет составлять $\frac{4}{5}$ от длины $\vec{a}$. Длина $\vec{a}$ равна 3 единицам сетки, следовательно, длина $\frac{4}{5}\vec{a}$ будет $\frac{4}{5} \times 3 = \frac{12}{5} = 2.4$ единицы сетки, направлен горизонтально вправо.
2. От конца вектора $\frac{4}{5}\vec{a}$ начертить вектор $\frac{5}{4}\vec{b}$. Его длина будет составлять $\frac{5}{4}$ от длины $\vec{b}$. Длина $\vec{b}$ равна 3 единицам сетки, следовательно, длина $\frac{5}{4}\vec{b}$ будет $\frac{5}{4} \times 3 = \frac{15}{4} = 3.75$ единицы сетки, направлен вертикально вниз.
3. Искомый вектор $\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{5}{4}\vec{b}$ будет вектором, проведенным от начальной точки первого вектора ($\frac{4}{5}\vec{a}$) до конечной точки второго вектора ($\frac{5}{4}\vec{b}$). Его компоненты будут $(2.4, -3.75)$ относительно начальной точки.

Ответ: Вектор $\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{5}{4}\vec{b}$ имеет компоненты $(2.4, -3.75)$ и строится как вектор от начала $\frac{4}{5}\vec{a}$ до конца $\frac{5}{4}\vec{b}$ (приложенного к концу $\frac{4}{5}\vec{a}$).