Номер 55, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

55. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке M, AD = 10 см, BD = 12 см. Найдите:

а) $\\left| \\vec{AD} + \\vec{AB} - \\vec{BC} - \\vec{MB} \\right|$;

б) $\\left| \\vec{CB} + \\vec{BD} - \\vec{BM} - \\vec{MA} \\right|$.

Дано:

В ромбе $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $M$.

$AD = 10 \text{ см}$

$BD = 12 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$AD = 0.1 \text{ м}$

$BD = 0.12 \text{ м}$

Найти:

а) $|\vec{AD} + \vec{AB} - \vec{BC} - \vec{MB}|$

б) $|\vec{CB} + \vec{BD} - \vec{BM} - \vec{MA}|$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся свойствами ромба и правилами сложения и вычитания векторов.

В ромбе $ABCD$ все стороны равны, поэтому $AB = BC = CD = AD = 10 \text{ см}$.

Диагонали ромба пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам. Также диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Следовательно, треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба, является прямоугольным.

Найдем длины половин диагоналей. Поскольку $M$ является серединой $BD$:

$BM = MD = \frac{BD}{2} = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMB$ (поскольку $AC \perp BD$). По теореме Пифагора:

$AM^2 + BM^2 = AB^2$

$AM^2 + (6 \text{ см})^2 = (10 \text{ см})^2$

$AM^2 + 36 \text{ см}^2 = 100 \text{ см}^2$

$AM^2 = 100 \text{ см}^2 - 36 \text{ см}^2 = 64 \text{ см}^2$

$AM = \sqrt{64 \text{ см}^2} = 8 \text{ см}$.

Длина диагонали $AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 8 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

а)

Обозначим искомое векторное выражение за $\vec{X_a}$.

$\vec{X_a} = \vec{AD} + \vec{AB} - \vec{BC} - \vec{MB}$

В ромбе (как и в любом параллелограмме) противоположные стороны равны и параллельны, что означает равенство соответствующих векторов: $\vec{AD} = \vec{BC}$.

Подставим $\vec{BC} = \vec{AD}$ в выражение:

$\vec{X_a} = \vec{AD} + \vec{AB} - \vec{AD} - \vec{MB}$

Сокращаем противоположные векторы $\vec{AD}$ и $-\vec{AD}$:

$\vec{X_a} = \vec{AB} - \vec{MB}$

Используем свойство, что вычитание вектора равно прибавлению противоположного вектора: $-\vec{MB} = \vec{BM}$:

$\vec{X_a} = \vec{AB} + \vec{BM}$

По правилу треугольника (для $\triangle ABM$, где $\vec{AB}$ и $\vec{BM}$ - последовательные векторы, идущие из одной точки в другую):

$\vec{AB} + \vec{BM} = \vec{AM}$

Таким образом, $\vec{X_a} = \vec{AM}$.

Нам нужно найти модуль этого вектора, то есть его длину $|\vec{AM}| = AM$.

Мы уже вычислили $AM = 8 \text{ см}$.

Ответ: $8 \text{ см}$

б)

Обозначим искомое векторное выражение за $\vec{X_b}$.

$\vec{X_b} = \vec{CB} + \vec{BD} - \vec{BM} - \vec{MA}$

Для упрощения выражения перепишем все векторы, используя точку $M$ как опорную точку (т.е. представим их как разность радиус-векторов, если $M$ - начало координат, или просто используем свойства векторов относительно $M$).

Вектор $\vec{XY}$ может быть представлен как $\vec{MY} - \vec{MX}$.

$\vec{CB} = \vec{MB} - \vec{MC}$

$\vec{BD} = \vec{MD} - \vec{MB}$

$\vec{BM} = -\vec{MB}$ (вектор, противоположный $\vec{MB}$)

$\vec{MA}$ остается $\vec{MA}$, так как он уже начинается из $M$.

Подставим эти выражения в $\vec{X_b}$:

$\vec{X_b} = (\vec{MB} - \vec{MC}) + (\vec{MD} - \vec{MB}) - (-\vec{MB}) - \vec{MA}$

Раскроем скобки и упростим:

$\vec{X_b} = \vec{MB} - \vec{MC} + \vec{MD} - \vec{MB} + \vec{MB} - \vec{MA}$

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$\vec{X_b} = (\vec{MB} - \vec{MB} + \vec{MB}) + \vec{MD} - \vec{MC} - \vec{MA}$

$\vec{X_b} = \vec{MB} + \vec{MD} - \vec{MC} - \vec{MA}$

Теперь используем то, что $M$ - середина диагоналей $AC$ и $BD$. Это означает, что векторы, идущие от $M$ к противоположным концам диагонали, являются противоположными по направлению, но равными по модулю:

$\vec{MD} = -\vec{MB}$

$\vec{MC} = -\vec{MA}$

Подставим эти соотношения в выражение для $\vec{X_b}$:

$\vec{X_b} = \vec{MB} + (-\vec{MB}) - (-\vec{MA}) - \vec{MA}$

$\vec{X_b} = \vec{MB} - \vec{MB} + \vec{MA} - \vec{MA}$

$\vec{X_b} = \vec{0}$

Модуль нулевого вектора равен $0$.

Ответ: $0$