Номер 53, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

53. Даны три неколлинеарных вектора $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ (рисунок 52). Постройте вектор $\vec{x}$ такой, что:

а) $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{x}$;

б) $\vec{a} - \vec{x} = \vec{b} + \vec{c}$.

Рисунок 52

Дано
Три неколлинеарных вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, изображенные на "Рисунке 52".
Исходя из рисунка, если принять сторону клетки за единицу длины, их компоненты следующие:
$\vec{a} = (4, 0)$
$\vec{b} = (-2, -4)$
$\vec{c} = (0, -4)$

Перевод в СИ: Не требуется, так как задача является задачей на построение векторов и не содержит физических величин.

Найти
Построить вектор $\vec{x}$ для следующих условий:
а) $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{x}$
б) $\vec{a} - \vec{x} = \vec{b} + \vec{c}$

Решение

а) $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{x}$
Для нахождения вектора $\vec{x}$ выразим его из данного уравнения:
$\vec{x} = \vec{c} - \vec{a} - \vec{b}$
Подставим координатные значения векторов:
$\vec{x} = (0, -4) - (4, 0) - (-2, -4)$
Выполним вычитание по компонентам:
$\vec{x} = (0 - 4 - (-2), -4 - 0 - (-4))$
$\vec{x} = (0 - 4 + 2, -4 - 0 + 4)$
$\vec{x} = (-2, 0)$
Геометрическое построение:
1. От произвольной точки на плоскости (например, начала координат) отложите вектор $\vec{a}$.
2. От конца вектора $\vec{a}$ отложите вектор $\vec{b}$. Полученный вектор $\vec{S} = \vec{a} + \vec{b}$ будет соединять начало вектора $\vec{a}$ с концом вектора $\vec{b}$.
3. Уравнение можно переписать как $\vec{c} = \vec{S} + \vec{x}$, откуда $\vec{x} = \vec{c} - \vec{S}$.
4. Чтобы построить разность векторов $\vec{c} - \vec{S}$, отложите векторы $\vec{c}$ и $\vec{S}$ из одной и той же точки (общего начала). Вектор $\vec{x} = \vec{c} - \vec{S}$ будет начинаться в конце вектора $\vec{S}$ и заканчиваться в конце вектора $\vec{c}$.
5. Полученный вектор $\vec{x}$ будет иметь компоненты $(-2, 0)$, то есть будет направлен на 2 единицы влево.

Ответ: $\vec{x} = (-2, 0)$

б) $\vec{a} - \vec{x} = \vec{b} + \vec{c}$
Для нахождения вектора $\vec{x}$ выразим его из данного уравнения:
$\vec{a} - \vec{x} = \vec{b} + \vec{c}$
$\vec{x} = \vec{a} - (\vec{b} + \vec{c})$
Или, раскрыв скобки:
$\vec{x} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$
Подставим координатные значения векторов:
$\vec{x} = (4, 0) - (-2, -4) - (0, -4)$
Выполним вычитание по компонентам:
$\vec{x} = (4 - (-2) - 0, 0 - (-4) - (-4))$
$\vec{x} = (4 + 2 - 0, 0 + 4 + 4)$
$\vec{x} = (6, 8)$
Геометрическое построение:
1. Сначала постройте сумму векторов $\vec{R} = \vec{b} + \vec{c}$. Для этого отложите вектор $\vec{b}$ из произвольной точки, а затем от конца вектора $\vec{b}$ отложите вектор $\vec{c}$. Вектор $\vec{R}$ соединит начало вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{c}$.
2. Уравнение можно переписать как $\vec{a} - \vec{x} = \vec{R}$, откуда $\vec{x} = \vec{a} - \vec{R}$.
3. Чтобы построить разность векторов $\vec{a} - \vec{R}$, отложите векторы $\vec{a}$ и $\vec{R}$ из одной и той же точки (общего начала). Вектор $\vec{x} = \vec{a} - \vec{R}$ будет начинаться в конце вектора $\vec{R}$ и заканчиваться в конце вектора $\vec{a}$.
4. Полученный вектор $\vec{x}$ будет иметь компоненты $(6, 8)$, то есть будет направлен на 6 единиц вправо и 8 единиц вверх.

Ответ: $\vec{x} = (6, 8)$