Номер 49, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

49. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, $AB = 2$, $AD = 4$. Найдите:

а) $ |\vec{OA} + \vec{OB}| $;

б) $ |\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}| $;

в) $ |\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}| $;

г) $ |\vec{AO} + \vec{DC} + \vec{OD}| $.

Дано

Прямоугольник $ABCD$.

Диагонали пересекаются в точке $O$.

$AB = 2$

$AD = 4$

Перевод в СИ:

Длины сторон представлены в безразмерных единицах. Для данной задачи, которая является чисто геометрической, перевод в систему СИ не требуется, так как единицы измерения не указаны.

Найти:

а) $|\vec{OA} + \vec{OB}|$

б) $|\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}|$

в) $|\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}|$

г) $|\vec{AO} + \vec{DC} + \vec{OD}|$

Решение

В прямоугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ равны и делятся точкой пересечения $O$ пополам. Это означает, что $O$ является серединой каждой диагонали и центром симметрии прямоугольника. Отсюда следуют важные векторные равенства относительно точки $O$:

• $\vec{OA} = -\vec{OC}$
• $\vec{OB} = -\vec{OD}$
• $|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = |\vec{OD}|$

Сначала найдем длину диагонали прямоугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (угол $A$ прямой). По теореме Пифагора:

$BD^2 = AB^2 + AD^2$

$BD^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$

$BD = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Так как диагонали прямоугольника равны, $AC = BD = 2\sqrt{5}$.

Длина каждого из векторов от центра $O$ до вершин равна половине длины диагонали:

$|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = |\vec{OD}| = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}(2\sqrt{5}) = \sqrt{5}$

а) $|\vec{OA} + \vec{OB}|$

Воспользуемся свойством векторов, исходящих из центра прямоугольника. Если $O$ — центр прямоугольника, то для любых двух вершин $A$ и $B$ верно тождество: $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{DA}$.

Докажем это тождество. Пусть $P$ — произвольная точка. Тогда $\vec{OA} = \vec{A} - \vec{O}$, $\vec{OB} = \vec{B} - \vec{O}$, $\vec{DA} = \vec{A} - \vec{D}$.

Сумма $\vec{OA} + \vec{OB} = (\vec{A} - \vec{O}) + (\vec{B} - \vec{O}) = \vec{A} + \vec{B} - 2\vec{O}$.

Так как $O$ является серединой диагонали $BD$, то радиус-вектор точки $O$ равен полусумме радиус-векторов точек $B$ и $D$: $\vec{O} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2}$, откуда $2\vec{O} = \vec{B} + \vec{D}$.

Подставим $2\vec{O}$ в выражение для суммы векторов:

$\vec{A} + \vec{B} - 2\vec{O} = \vec{A} + \vec{B} - (\vec{B} + \vec{D}) = \vec{A} - \vec{D}$.

Таким образом, $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{DA}$.

Длина вектора $\vec{DA}$ равна длине стороны $AD$.

$|\vec{OA} + \vec{OB}| = |\vec{DA}| = AD = 4$.

Ответ: $4$

б) $|\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}|$

Используем свойство, что $\vec{OC} = -\vec{OA}$ (векторы, идущие от центра к противоположным вершинам, равны по модулю и противоположно направлены).

Тогда:

$|\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}| = |(\vec{OA} + \vec{OC}) + \vec{OB}|$

Поскольку $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$ (сумма противоположных векторов от центра равна нулевому вектору), выражение упрощается:

$|\vec{0} + \vec{OB}| = |\vec{OB}|$

Мы ранее вычислили, что $|\vec{OB}| = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

в) $|\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}|$

Используем свойства: $\vec{OC} = -\vec{OA}$ и $\vec{OD} = -\vec{OB}$.

Сгруппируем члены:

$|\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}| = |(\vec{OA} + \vec{OC}) + (\vec{OB} + \vec{OD})|$

Так как $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$ и $\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}$:

$|\vec{0} + \vec{0}| = |\vec{0}| = 0$

Ответ: $0$

г) $|\vec{AO} + \vec{DC} + \vec{OD}|$

Преобразуем векторы. Вектор $\vec{AO}$ противоположен вектору $\vec{OA}$, то есть $\vec{AO} = -\vec{OA}$.

Вектор $\vec{OD}$ противоположен вектору $\vec{OB}$, то есть $\vec{OD} = -\vec{OB}$.

Тогда выражение примет вид:

$|-\vec{OA} + \vec{DC} - \vec{OB}|$

Сгруппируем члены с $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$:

$|-(\vec{OA} + \vec{OB}) + \vec{DC}|$

Из пункта а) мы знаем, что $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{DA}$.

Значит, $-(\vec{OA} + \vec{OB}) = -\vec{DA}$. Вектор $-\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{DA}$, то есть он равен $\vec{AD}$.

Выражение становится:

$|\vec{AD} + \vec{DC}|$

По правилу треугольника для сложения векторов, если конец первого вектора является началом второго, то их сумма — это вектор от начала первого до конца второго. Вектор $\vec{AD}$ начинается в $A$ и заканчивается в $D$. Вектор $\vec{DC}$ начинается в $D$ и заканчивается в $C$. Следовательно, их сумма $\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$.

Таким образом, нам нужно найти длину вектора $\vec{AC}$, которая равна длине диагонали $AC$.

Мы ранее вычислили, что $AC = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$