Номер 45, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ексти верне равенство $|AD - AH| = |DB - DH|$.

45. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$.

Докажите, что $\vec{OA} - \vec{OB} = -(\vec{OC} - \vec{OD})$.

В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$.

Доказать равенство $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = -(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD})$.

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.

Из свойства середины отрезка для векторов следует:

• Вектор $\overrightarrow{OA}$ и вектор $\overrightarrow{OC}$ противоположно направлены и равны по модулю, так как $O$ — середина $AC$. Следовательно, $\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OC}$.
• Вектор $\overrightarrow{OB}$ и вектор $\overrightarrow{OD}$ противоположно направлены и равны по модулю, так как $O$ — середина $BD$. Следовательно, $\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OD}$.

Теперь подставим эти соотношения в левую часть доказываемого равенства:

Левая часть (ЛЧ): $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$

Заменяем $\overrightarrow{OA}$ на $(-\overrightarrow{OC})$ и $\overrightarrow{OB}$ на $(-\overrightarrow{OD})$:

ЛЧ $= (-\overrightarrow{OC}) - (-\overrightarrow{OD})$

ЛЧ $= -\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$

ЛЧ $= \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}$

Теперь рассмотрим правую часть (ПЧ) доказываемого равенства:

Правая часть (ПЧ): $-(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD})$

Раскрываем скобки, меняя знаки векторов внутри:

ПЧ $= -\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$

ПЧ $= \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}$

Так как левая часть $\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}$ равна правой части $\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}$, исходное равенство доказано.

Альтернативный способ доказательства через правило вычитания векторов:

Левая часть (ЛЧ): $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$По правилу вычитания векторов ($\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{Y} - \overrightarrow{X}$, если векторы исходят из общей точки $O$), то $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$.

Правая часть (ПЧ): $-(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD})$Сначала вычислим выражение в скобках: $\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{DC}$.Тогда ПЧ $= -\overrightarrow{DC}$.

В параллелограмме $ABCD$ стороны $BA$ и $DC$ являются противоположными сторонами. Они параллельны и равны по длине, но направлены противоположно (вектор $\overrightarrow{BA}$ направлен от $B$ к $A$, а вектор $\overrightarrow{DC}$ от $D$ к $C$).Следовательно, $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{DC}$.

Так как ЛЧ $= \overrightarrow{BA}$ и ПЧ $= -\overrightarrow{DC}$, и мы показали, что $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{DC}$, то ЛЧ $=$ ПЧ. Равенство доказано.

Равенство $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = -(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD})$ доказано.