Номер 40, страница 22 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

40. Откладываются равные векторы от каждой точки:

а) отрезка;

б) треугольника. Какую фигуру образуют концы всех этих векторов?

При откладывании равных векторов от каждой точки заданной фигуры происходит геометрическое преобразование, называемое параллельным переносом (трансляцией). Параллельный перенос определяется одним вектором $\vec{v}$ и для каждой точки $P$ фигуры отображает ее в новую точку $P'$ такую, что $\vec{PP'} = \vec{v}$. Иначе говоря, радиус-вектор новой точки $P'$ получается как сумма радиус-вектора исходной точки $P$ и вектора переноса $\vec{v}$: $\vec{r_{P'}} = \vec{r_P} + \vec{v}$. Важной особенностью параллельного переноса является то, что он сохраняет форму, размер и ориентацию фигуры. Это означает, что образ фигуры при таком преобразовании будет конгруэнтен (равен) исходной фигуре.

а) отрезка

Если от каждой точки отрезка отложить равные векторы, то каждая точка $P$ этого отрезка будет смещена на один и тот же вектор $\vec{v}$. Множество всех таких смещенных точек $P'$ образует новую фигуру, которая является образом исходного отрезка при параллельном переносе. Поскольку параллельный перенос сохраняет длину, направление и линейность, то отрезок преобразуется в другой отрезок, который будет параллелен исходному и иметь ту же длину. Концы нового отрезка будут соответствовать концам исходного отрезка, сдвинутым на вектор $\vec{v}$.

Ответ:
Концы всех этих векторов образуют отрезок.

б) треугольника

Если от каждой точки треугольника (включая его стороны и внутреннюю область) отложить равные векторы, то каждая точка $P$ треугольника будет смещена на один и тот же вектор $\vec{v}$. Множество всех таких смещенных точек $P'$ образует новую фигуру, которая является образом исходного треугольника при параллельном переносе. Поскольку параллельный перенос сохраняет форму, размер и ориентацию, то треугольник преобразуется в другой треугольник, который будет конгруэнтен (равен) исходному. Вершины нового треугольника будут соответствовать вершинам исходного, сдвинутым на вектор $\vec{v}$.

Ответ:
Концы всех этих векторов образуют треугольник.