Номер 38, страница 22 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

38. Вершины шестиугольника $ABCDEF$ лежат на окружности с центром $O$. Известно, что $AB = BC = CD = DE = EF = FA = AO$.

а) Докажите, что $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AF}$.

б) Равны ли векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{ED}$?

Дано:

Шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность с центром $O$.

Длины отрезков связаны соотношением: $AB = BC = CD = DE = EF = FA = AO$.

Найти:

а) Доказать равенство векторов: $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AF}$.

б) Ответить, равны ли векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{ED}$.

Решение

Исходя из условия $AB = BC = CD = DE = EF = FA = AO$, и зная, что $AO$ является радиусом ($R$) описанной окружности, мы можем заключить, что все стороны шестиугольника равны радиусу описанной окружности. Это является определяющим свойством правильного шестиугольника. Следовательно, $ABCDEF$ является правильным шестиугольником.

а) Докажите, что $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AF}$

Для доказательства равенства векторов необходимо показать, что они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.

Поскольку $ABCDEF$ является правильным шестиугольником, вписанным в окружность с центром $O$ и радиусом $R$, все его стороны равны радиусу $R$: $|AB| = |BC| = |CD| = |DE| = |EF| = |FA| = R$. Также, отрезки, соединяющие центр с вершинами, являются радиусами: $|OA| = |OB| = |OC| = |OD| = |OE| = |OF| = R$.

Таким образом, модули всех трех векторов равны $R$:

$|\overrightarrow{CD}| = CD = R$

$|\overrightarrow{BO}| = BO = R$

$|\overrightarrow{AF}| = AF = R$

Теперь докажем равенство их направлений.

Рассмотрим свойства правильного шестиугольника:

1. Треугольники, образованные двумя радиусами и стороной (например, $\Delta OAB, \Delta OBC, \dots, \Delta OFA$), являются равносторонними, так как все их стороны равны $R$. Следовательно, все центральные углы равны $60^\circ$.

2. Противоположные стороны правильного шестиугольника параллельны и равны по длине. Например, $AB \parallel DE$, $BC \parallel EF$, $CD \parallel FA$. Векторы, направленные вдоль противоположных сторон в одном направлении обхода вершин, будут противоположны. То есть, $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{FA}$ являются противоположными векторами, поэтому $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{FA}$.

Мы знаем, что вектор $\overrightarrow{AF}$ является вектором, противоположным вектору $\overrightarrow{FA}$ (т.е., $\overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{FA}$).

Подставляя это в равенство $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{FA}$, получаем:

$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AF}$ (1)

Теперь докажем, что $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BO}$.

Рассмотрим четырехугольник $OBCD$. Его стороны $OB, BC, CD, DO$ равны радиусу $R$:

$OB = R$ (радиус)

$BC = R$ (сторона шестиугольника)

$CD = R$ (сторона шестиугольника)

$DO = R$ (радиус)

Поскольку все стороны четырехугольника $OBCD$ равны, он является ромбом.

В ромбе противоположные стороны параллельны и равны по длине. В частности, сторона $OB$ параллельна стороне $DC$, и векторы $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{DC}$ направлены одинаково. Следовательно, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DC}$.

Мы знаем, что $\overrightarrow{DC}$ является вектором, противоположным вектору $\overrightarrow{CD}$, то есть $\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}$.

Подставляя это в равенство $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DC}$, получаем $\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{CD}$.

Вектор $\overrightarrow{BO}$ является вектором, противоположным вектору $\overrightarrow{OB}$, то есть $\overrightarrow{BO} = -\overrightarrow{OB}$.

Тогда $\overrightarrow{BO} = -(-\overrightarrow{CD}) = \overrightarrow{CD}$. (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AF}$.

Ответ: $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AF}$ доказано.

б) Равны ли векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{ED}$?

Векторы считаются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.

Длины векторов:

$|\overrightarrow{BC}| = BC = R$

$|\overrightarrow{ED}| = ED = R$

Длины векторов равны. Теперь проверим их направления.

Расположим центр окружности $O$ в начале координат $(0,0)$. Пусть радиус окружности равен $R$. Координаты вершин правильного шестиугольника (в порядке против часовой стрелки, начиная с $A=(R,0)$) будут:

$A = (R, 0)$

$B = (R\cos 60^\circ, R\sin 60^\circ) = (R/2, R\sqrt{3}/2)$

$C = (R\cos 120^\circ, R\sin 120^\circ) = (-R/2, R\sqrt{3}/2)$

$D = (R\cos 180^\circ, R\sin 180^\circ) = (-R, 0)$

$E = (R\cos 240^\circ, R\sin 240^\circ) = (-R/2, -R\sqrt{3}/2)$

$F = (R\cos 300^\circ, R\sin 300^\circ) = (R/2, -R\sqrt{3}/2)$

Вычислим координаты вектора $\overrightarrow{BC}$:

$\overrightarrow{BC} = C - B = (-R/2 - R/2, R\sqrt{3}/2 - R\sqrt{3}/2) = (-R, 0)$

Вычислим координаты вектора $\overrightarrow{ED}$:

$\overrightarrow{ED} = D - E = (-R - (-R/2), 0 - (-R\sqrt{3}/2)) = (-R/2, R\sqrt{3}/2)$

Поскольку компоненты векторов $\overrightarrow{BC} = (-R, 0)$ и $\overrightarrow{ED} = (-R/2, R\sqrt{3}/2)$ не совпадают, эти векторы не равны. Они имеют одинаковую длину, но разное направление.

Ответ: Нет, векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{ED}$ не равны.