Номер 39, страница 22 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

39. Равны ли векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A_1B_1}$, если точки A и A_1, B и B_1 симметричны относительно некоторой произвольной:

а) точки;

б) прямой?

а) точки;

Пусть дана произвольная точка $O$, относительно которой симметричны точки $A$ и $A_1$, а также $B$ и $B_1$.

Симметрия относительно точки (центральная симметрия) определяется таким образом, что точка $O$ является серединой отрезка, соединяющего любую точку $P$ с ее симметричным образом $P_1$. Это означает, что для любой точки $P$ и ее образа $P_1$ справедливо векторное соотношение $\vec{OP_1} = -\vec{OP}$.

Применяя это определение к нашим точкам:

• $\vec{OA_1} = -\vec{OA}$
• $\vec{OB_1} = -\vec{OB}$

Вектор $\vec{AB}$ может быть выражен как $\vec{OB} - \vec{OA}$.

Вектор $\vec{A_1B_1}$ может быть выражен как $\vec{OB_1} - \vec{OA_1}$.

Подставим выражения для $\vec{OA_1}$ и $\vec{OB_1}$:

$\vec{A_1B_1} = (-\vec{OB}) - (-\vec{OA})$

$\vec{A_1B_1} = \vec{OA} - \vec{OB}$

Таким образом, $\vec{A_1B_1} = -(\vec{OB} - \vec{OA})$, что означает $\vec{A_1B_1} = -\vec{AB}$.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление. В данном случае векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A_1B_1}$ имеют одинаковые модули, но противоположные направления (за исключением тривиального случая, когда $A=B$ и оба вектора являются нулевыми).

Следовательно, в общем случае векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A_1B_1}$ не равны.

Ответ: Нет

б) прямой?

Пусть дана произвольная прямая $L$, относительно которой симметричны точки $A$ и $A_1$, а также $B$ и $B_1$.

Симметрия относительно прямой (осевая симметрия) является изометрическим преобразованием, что означает, что она сохраняет расстояния между точками. Следовательно, длины векторов сохраняются: $|\vec{A_1B_1}| = |\vec{AB}|$.

Однако, направление вектора, как правило, изменяется при осевой симметрии. Рассмотрим координатную плоскость и пусть ось симметрии $L$ совпадает с осью $x$.

Если точка $P=(x, y)$, то ее симметричный образ $P_1$ относительно оси $x$ будет $P_1=(x, -y)$.

Пусть $A=(x_A, y_A)$ и $B=(x_B, y_B)$. Тогда их симметричные образы $A_1=(x_A, -y_A)$ и $B_1=(x_B, -y_B)$.

Вектор $\vec{AB}$ имеет компоненты: $(x_B - x_A, y_B - y_A)$.

Вектор $\vec{A_1B_1}$ имеет компоненты: $(x_{B_1} - x_{A_1}, y_{B_1} - y_{A_1}) = (x_B - x_A, (-y_B) - (-y_A)) = (x_B - x_A, y_A - y_B)$.

Для того чтобы векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A_1B_1}$ были равны, их соответствующие компоненты должны быть равны:

• $x_B - x_A = x_B - x_A$ (это всегда выполняется)
• $y_B - y_A = y_A - y_B$

Из второго уравнения: $y_B - y_A = y_A - y_B \implies 2y_B = 2y_A \implies y_B = y_A$.

Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A_1B_1}$ будут равны только в том случае, если точки $A$ и $B$ имеют одинаковую координату $y$, то есть отрезок $AB$ параллелен оси симметрии $L$ (или лежит на ней). В любом другом случае (когда $y_A \ne y_B$), векторы не будут равны.

Поскольку вопрос спрашивает, равны ли векторы в общем случае (для произвольных точек и произвольной прямой), и существуют случаи, когда они не равны, общий ответ — "Нет".

Ответ: Нет