Номер 36, страница 22 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

36. В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Найдите длины векторов $\vec{AD}$ и $\vec{CD}$, если $AB = 6$ см, $BC = 10$ см, $AC = 12$ см.

Дано:

Треугольник $ABC$.

$BD$ — биссектриса угла $B$.

$AB = 6$ см

$BC = 10$ см

$AC = 12$ см

Перевод в СИ:

$AB = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$BC = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

$AC = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Длины векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{CD}$.

Решение:

По теореме о биссектрисе угла треугольника, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае, биссектриса $BD$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $CD$ таким образом, что отношение длин этих отрезков равно отношению длин сторон $AB$ и $BC$.

Это выражается формулой: $\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BC}$.

Пусть длина отрезка $AD$ равна $x$. Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $AC$, длина отрезка $CD$ будет равна $AC - AD = 12 - x$.

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{x}{12 - x} = \frac{6}{10}$

Упростим правую часть дроби:

$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{x}{12 - x} = \frac{3}{5}$

Для решения этого уравнения используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$5x = 3(12 - x)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$5x = 36 - 3x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть уравнения:

$5x + 3x = 36$

$8x = 36$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{36}{8}$

$x = \frac{9}{2}$

$x = 4.5$

Таким образом, длина отрезка $AD$ (что соответствует длине вектора $\overrightarrow{AD}$) равна $4.5$ см.

Теперь найдем длину отрезка $CD$ (что соответствует длине вектора $\overrightarrow{CD}$):

$CD = AC - AD = 12 - 4.5$

$CD = 7.5$ см

Ответ:

Длина вектора $\overrightarrow{AD}$ равна $4.5$ см, длина вектора $\overrightarrow{CD}$ равна $7.5$ см.