Номер 33, страница 21 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

33. Верно ли утверждение:

а) если $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны;

б) если $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$, то $\vec{a} = \vec{b}$;

в) если $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$;

г) если $\vec{a} = \vec{0}$, то $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$?

а) если $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны
Дано: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Найти: Верно ли утверждение: если $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.
Решение: По определению, два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление. Векторы, имеющие одинаковое направление, по определению являются коллинеарными (они лежат на одной прямой или на параллельных прямых). Следовательно, если $\vec{a} = \vec{b}$, то они имеют одинаковое направление, а значит, являются коллинеарными.
Ответ: Утверждение верно.

б) если $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$, то $\vec{a} = \vec{b}$
Дано: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Найти: Верно ли утверждение: если $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$, то $\vec{a} = \vec{b}$.
Решение: Обозначение $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$ означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, то есть они коллинеарны и имеют одинаковое направление. Однако, для равенства векторов $\vec{a} = \vec{b}$ необходимо, чтобы они имели не только одинаковое направление, но и одинаковую длину. Например, вектор длиной $2$ и вектор длиной $5$ могут быть сонаправлены, но они не равны. Таким образом, из сонаправленности векторов не следует их равенство.
Ответ: Утверждение неверно.

в) если $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$
Дано: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Найти: Верно ли утверждение: если $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.
Решение: Обозначение $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$ означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. По определению, равные векторы $\vec{a} = \vec{b}$ имеют одинаковое направление. Векторы не могут одновременно иметь одинаковое и противоположное направление (если только они не нулевые векторы, но даже в этом случае понятие "противоположно направлены" теряет смысл). Следовательно, из равенства векторов не следует их противоположная направленность.
Ответ: Утверждение неверно.

г) если $\vec{a} = \vec{0}$, то $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$?
Дано: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Найти: Верно ли утверждение: если $\vec{a} = \vec{0}$, то $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.
Решение: Нулевой вектор $\vec{0}$ — это вектор, длина которого равна нулю. Он не имеет определенного направления, хотя он считается коллинеарным с любым вектором. Понятие "противоположно направленный" (как и "сонаправленный") применяется к ненулевым векторам, которые имеют четко выраженное направление. Поскольку нулевой вектор не имеет направления, он не может быть противоположно направлен к какому-либо другому вектору (если $\vec{b}$ не является нулевым вектором).
Ответ: Утверждение неверно.