Номер 28, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Напишите уравнение окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $A(-3; 0)$, $B(0; 3\sqrt{3})$, $C(3; 0)$.

Дано:

Координаты вершин треугольника $ABC$:

• $A(-3; 0)$

• $B(0; 3\sqrt{3})$

• $C(3; 0)$

Не требуется, так как координаты заданы в безразмерных единицах.

Уравнение окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Уравнение окружности в общем виде имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус.

Заметим, что точки $A(-3; 0)$ и $C(3; 0)$ симметричны относительно оси $Oy$. Точка $B(0; 3\sqrt{3})$ лежит на оси $Oy$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

Центр описанной окружности для равнобедренного треугольника лежит на его оси симметрии, которая в данном случае совпадает с осью $Oy$. Следовательно, координата $a$ центра окружности равна $0$.

Таким образом, центр окружности имеет координаты $(0; b)$.

Радиус окружности $R$ — это расстояние от центра до любой из вершин треугольника. Так как все три вершины лежат на окружности, расстояния от центра до каждой из них должны быть равны $R$.

Используем точки $A$ и $B$ для нахождения $b$ и $R^2$:

• Расстояние от центра $(0; b)$ до точки $A(-3; 0)$:

  $R^2 = (0 - (-3))^2 + (b - 0)^2$

  $R^2 = 3^2 + b^2$

  $R^2 = 9 + b^2$ (1)

• Расстояние от центра $(0; b)$ до точки $B(0; 3\sqrt{3})$:

  $R^2 = (0 - 0)^2 + (b - 3\sqrt{3})^2$

  $R^2 = (b - 3\sqrt{3})^2$ (2)

Приравняем правые части уравнений (1) и (2), так как они обе равны $R^2$:

$9 + b^2 = (b - 3\sqrt{3})^2$

Раскроем скобки в правой части:

$9 + b^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 3\sqrt{3} + (3\sqrt{3})^2$

$9 + b^2 = b^2 - 6\sqrt{3}b + (9 \cdot 3)$

$9 + b^2 = b^2 - 6\sqrt{3}b + 27$

Вычтем $b^2$ из обеих частей уравнения:

$9 = -6\sqrt{3}b + 27$

Перенесем слагаемые, содержащие $b$, в одну сторону, а свободные члены в другую:

$6\sqrt{3}b = 27 - 9$

$6\sqrt{3}b = 18$

Найдем $b$:

$b = \frac{18}{6\sqrt{3}}$

$b = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$b = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2}$

$b = \frac{3\sqrt{3}}{3}$

$b = \sqrt{3}$

Таким образом, центр окружности находится в точке $(0; \sqrt{3})$.

Теперь найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив значение $b$ в уравнение (1):

$R^2 = 9 + b^2$

$R^2 = 9 + (\sqrt{3})^2$

$R^2 = 9 + 3$

$R^2 = 12$

Подставим координаты центра $(a, b) = (0, \sqrt{3})$ и $R^2 = 12$ в общее уравнение окружности:

$(x - 0)^2 + (y - \sqrt{3})^2 = 12$

Что упрощается до $x^2 + (y - \sqrt{3})^2 = 12$.

Уравнение окружности: $x^2 + (y - \sqrt{3})^2 = 12$.