Номер 26, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Даны точки $A(1; -2)$ и $B(9; 2)$. Найдите:

a) координаты середины $C$ отрезка $AB$;

б) точки, лежащие на координатных осях и равноудаленные от точек $A$ и $B$.

Дано:

Точки $A(1; -2)$ и $B(9; 2)$.

Найти:

а) координаты середины $C$ отрезка $AB$;

б) точки, лежащие на координатных осях и равноудаленные от точек $A$ и $B$.

Решение

а) координаты середины C отрезка AB

Для нахождения координат середины $C(x_C, y_C)$ отрезка $AB$ с концами $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ используем следующие формулы:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставляем координаты данных точек $A(1; -2)$ и $B(9; 2)$:

$x_C = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_C = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Ответ: Координаты середины отрезка $AB$ равны $C(5; 0)$.

б) точки, лежащие на координатных осях и равноудаленные от точек A и B

Точка, равноудаленная от двух данных точек, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему эти точки. Условие равноудаленности точки $P(x, y)$ от точек $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ выражается как $PA = PB$, или, что эквивалентно, $PA^2 = PB^2$. Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Для точек $A(1; -2)$, $B(9; 2)$ и искомой точки $P(x, y)$ имеем:

$(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = (x - x_B)^2 + (y - y_B)^2$

$(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = (x - 9)^2 + (y - 2)^2$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = (x - 9)^2 + (y - 2)^2$

Раскрываем скобки:

$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = x^2 - 18x + 81 + y^2 - 4y + 4$

Сокращаем члены $x^2$ и $y^2$ с обеих сторон уравнения:

$-2x + 4y + 5 = -18x - 4y + 85$

Переносим все члены с переменными в левую часть, а постоянные в правую:

$-2x + 18x + 4y + 4y = 85 - 5$

$16x + 8y = 80$

Делим все уравнение на 8 для упрощения:

$2x + y = 10$

Это уравнение серединного перпендикуляра к отрезку $AB$. Теперь найдем точки пересечения этой прямой с координатными осями.

1. Точка на оси абсцисс (оси X)

На оси X координата $y$ всегда равна 0. Подставляем $y = 0$ в уравнение $2x + y = 10$:

$2x + 0 = 10$

$2x = 10$

$x = 5$

Таким образом, точка на оси X, равноудаленная от $A$ и $B$, имеет координаты $(5; 0)$.

2. Точка на оси ординат (оси Y)

На оси Y координата $x$ всегда равна 0. Подставляем $x = 0$ в уравнение $2x + y = 10$:

$2(0) + y = 10$

$0 + y = 10$

$y = 10$

Таким образом, точка на оси Y, равноудаленная от $A$ и $B$, имеет координаты $(0; 10)$.

Ответ: Точки, лежащие на координатных осях и равноудаленные от точек $A$ и $B$, это $(5; 0)$ (на оси X) и $(0; 10)$ (на оси Y).