Номер 29, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках $A(-3; 1)$, $B(-2; 6)$, $C(3; 7)$, $D(2; 2)$.

Дано:

Координаты вершин четырехугольника:

$A(-3; 1)$

$B(-2; 6)$

$C(3; 7)$

$D(2; 2)$

В данном случае перевод данных в систему СИ не требуется, так как координаты являются безразмерными величинами.

Найти:

Площадь четырехугольника $ABCD$

Решение:

Для нахождения площади многоугольника с заданными координатами вершин можно использовать формулу площади Гаусса, также известную как формула шнурка. Для четырехугольника с вершинами $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$, перечисленными в порядке обхода (по часовой или против часовой стрелки), площадь $S$ определяется по формуле:

$S = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) |$

Подставим заданные координаты вершин:

$x_1 = -3, y_1 = 1$

$x_2 = -2, y_2 = 6$

$x_3 = 3, y_3 = 7$

$x_4 = 2, y_4 = 2$

Вычислим первую часть суммы $(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1)$:

$(-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 7) + (3 \cdot 2) + (2 \cdot 1)$

$= -18 + (-14) + 6 + 2$

$= -18 - 14 + 6 + 2$

$= -32 + 8 = -24$

Вычислим вторую часть суммы $(y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)$:

$(1 \cdot (-2)) + (6 \cdot 3) + (7 \cdot 2) + (2 \cdot (-3))$

$= -2 + 18 + 14 + (-6)$

$= -2 + 18 + 14 - 6$

$= 16 + 8 = 24$

Теперь подставим полученные значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} | (-24) - (24) |$

$S = \frac{1}{2} | -48 |$

$S = \frac{1}{2} \cdot 48$

$S = 24$

Ответ:

Площадь четырехугольника $ABCD$ составляет $24$ квадратных единицы.