Страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Некоторая точка $A$ у подножия горы Чингизтау в Казахстане (рисунок 33) расположена так, что $\angle BAO = 25^{\circ}$, где $B$ – вершина горы, $O$ – основание ее высоты. Точка $C$ расположена так, что $\angle BCO = 19^{\circ}$, причем $AC = 987$ м и точки $O, A$ и $C$ лежат на одной прямой. Какова высота этой горы? Ответ запишите с точностью до 1 м.

Рисунок 33

Дано:

$ \angle BAO = 25^\circ $

$ \angle BCO = 19^\circ $

$ AC = 987 \text{ м} $

Перевод в систему СИ:

Все величины уже приведены в систему СИ.

Найти:

$ BO $ – высота горы.

Решение:

Пусть $ BO $ – высота горы, которую обозначим как $ h $. Точка $ O $ – основание высоты, поэтому треугольники $ \triangle BOC $ и $ \triangle BOA $ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $ O $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle BOC $:

Тангенс угла $ \angle BCO $ определяется как отношение противолежащего катета $ BO $ к прилежащему катету $ OC $:

$ \tan(\angle BCO) = \frac{BO}{OC} $

$ \tan(19^\circ) = \frac{h}{OC} $

Выразим $ OC $:

$ OC = \frac{h}{\tan(19^\circ)} \quad (1) $

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle BOA $:

Тангенс угла $ \angle BAO $ определяется как отношение противолежащего катета $ BO $ к прилежащему катету $ OA $:

$ \tan(\angle BAO) = \frac{BO}{OA} $

$ \tan(25^\circ) = \frac{h}{OA} $

Выразим $ OA $:

$ OA = \frac{h}{\tan(25^\circ)} \quad (2) $

По условию задачи, точки $ O $, $ A $, $ C $ лежат на одной прямой, и точка $ A $ находится между $ O $ и $ C $. Следовательно, отрезок $ OC $ равен сумме отрезков $ OA $ и $ AC $:

$ OC = OA + AC $

Подставим выражения для $ OC $ из уравнения $ (1) $ и для $ OA $ из уравнения $ (2) $ в это равенство:

$ \frac{h}{\tan(19^\circ)} = \frac{h}{\tan(25^\circ)} + AC $

Перенесем слагаемое, содержащее $ h $, в левую часть уравнения:

$ \frac{h}{\tan(19^\circ)} - \frac{h}{\tan(25^\circ)} = AC $

Вынесем $ h $ за скобки:

$ h \left( \frac{1}{\tan(19^\circ)} - \frac{1}{\tan(25^\circ)} \right) = AC $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ h \left( \frac{\tan(25^\circ) - \tan(19^\circ)}{\tan(19^\circ) \cdot \tan(25^\circ)} \right) = AC $

Выразим $ h $ из полученного уравнения:

$ h = \frac{AC \cdot \tan(19^\circ) \cdot \tan(25^\circ)}{\tan(25^\circ) - \tan(19^\circ)} $

Теперь подставим числовые значения:

$ AC = 987 \text{ м} $

Значения тангенсов:

$ \tan(19^\circ) \approx 0.3443275 $

$ \tan(25^\circ) \approx 0.4663077 $

Выполним вычисления:

$ h = \frac{987 \cdot 0.3443275 \cdot 0.4663077}{0.4663077 - 0.3443275} $

$ h = \frac{987 \cdot 0.16049202}{0.1219802} $

$ h = \frac{158.465103}{0.1219802} $

$ h \approx 1299.1009 \text{ м} $

Округлим полученное значение до целого метра, как того требует условие задачи:

$ h \approx 1299 \text{ м} $

Ответ: 1299 м

23. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см, а высота, проведенная к основанию, – 16 см. Найдите длину медианы треугольника, проведенной к его боковой стороне.

Дано:

Основание равнобедренного треугольника $AC = 8$ см.
Высота, проведенная к основанию, $BH = 16$ см.

Перевод в СИ:
$AC = 0.08$ м
$BH = 0.16$ м

Найти:

Длина медианы, проведенной к боковой стороне, $AK$.

Решение

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = BC$ - боковые стороны, а $AC$ - основание.

Высота $BH$, проведенная к основанию $AC$, в равнобедренном треугольнике также является медианой, поэтому она делит основание пополам. Точка $H$ является серединой основания $AC$. Следовательно, $AH = HC = \frac{AC}{2}$.

Подставляя значение $AC = 8$ см, получаем: $AH = HC = \frac{8}{2} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (прямой угол при вершине $H$). По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $BC^2 = BH^2 + HC^2$.

Подставим известные значения: $BC^2 = 16^2 + 4^2$ $BC^2 = 256 + 16$ $BC^2 = 272$ $BC = \sqrt{272}$ Упростим корень: $BC = \sqrt{16 \cdot 17} = 4\sqrt{17}$ см.

Таким образом, длины боковых сторон равнобедренного треугольника равны $AB = BC = 4\sqrt{17}$ см.

Теперь найдем длину медианы, проведенной к одной из боковых сторон, например, медианы $AK$ к стороне $BC$. Точка $K$ является серединой стороны $BC$.

Для вычисления длины медианы $m_a$ (проведенной к стороне $a$) в треугольнике со сторонами $a, b, c$ используется следующая формула: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$.

В нашем треугольнике $ABC$: Сторона, к которой проведена медиана $AK$, это $a = BC = 4\sqrt{17}$ см. Две другие стороны: $b = AC = 8$ см и $c = AB = 4\sqrt{17}$ см.

Подставим эти значения в формулу для длины медианы $AK$: $AK^2 = \frac{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot AB^2 - BC^2}{4}$ $AK^2 = \frac{2 \cdot 8^2 + 2 \cdot (4\sqrt{17})^2 - (4\sqrt{17})^2}{4}$ $AK^2 = \frac{2 \cdot 64 + (2 - 1) \cdot (4\sqrt{17})^2}{4}$ $AK^2 = \frac{128 + (4\sqrt{17})^2}{4}$ $AK^2 = \frac{128 + 16 \cdot 17}{4}$ $AK^2 = \frac{128 + 272}{4}$ $AK^2 = \frac{400}{4}$ $AK^2 = 100$ $AK = \sqrt{100}$ $AK = 10$ см.

Ответ: 10 см

24. В треугольнике $ABC$ стороны $BC$ и $AC$ соответственно равны 10 см и 24 см, а медиана $CM$ равна 13 см. Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

Дано:

треугольник $ABC$

$BC = 10$ см

$AC = 24$ см

медиана $CM = 13$ см

Перевод в СИ:

$BC = 0.1$ м

$AC = 0.24$ м

$CM = 0.13$ м

Найти:

Доказать, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

Решение:

Для доказательства того, что треугольник $ABC$ является прямоугольным, нам необходимо найти длину третьей стороны $AB$ и проверить, выполняется ли для сторон этого треугольника теорема Пифагора.

Медиана $CM$ проведена к стороне $AB$. Длина медианы $m_c$ в треугольнике, проведенной к стороне $c$ (в нашем случае $AB$), вычисляется по формуле:

$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$

где $a$, $b$ — длины сторон, к которым не проведена медиана, а $c$ — длина стороны, к которой проведена медиана.

В нашем случае: $m_c = CM = 13$ см, $a = BC = 10$ см, $b = AC = 24$ см, а $c = AB$.

Подставим известные значения в формулу:

$(13)^2 = \frac{2 \cdot (10)^2 + 2 \cdot (24)^2 - AB^2}{4}$

$169 = \frac{2 \cdot 100 + 2 \cdot 576 - AB^2}{4}$

$169 = \frac{200 + 1152 - AB^2}{4}$

$169 = \frac{1352 - AB^2}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4:

$169 \cdot 4 = 1352 - AB^2$

$676 = 1352 - AB^2$

Выразим $AB^2$:

$AB^2 = 1352 - 676$

$AB^2 = 676$

Найдем $AB$:

$AB = \sqrt{676}$

$AB = 26$ см

Теперь у нас есть длины всех трех сторон треугольника $ABC$: $BC = 10$ см, $AC = 24$ см, $AB = 26$ см.

Проверим, выполняется ли для этих сторон теорема Пифагора. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза - это самая длинная сторона.

Самая длинная сторона в треугольнике $ABC$ - это $AB = 26$ см.

Проверим равенство $BC^2 + AC^2 = AB^2$:

$10^2 + 24^2 = 26^2$

$100 + 576 = 676$

$676 = 676$

Равенство выполняется. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным, а прямой угол находится напротив стороны $AB$, то есть угол $C$ равен $90^\circ$.

Ответ:

Треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как длины его сторон $BC=10$ см, $AC=24$ см и $AB=26$ см удовлетворяют теореме Пифагора ($10^2 + 24^2 = 26^2$).

25. Найдите биссектрису $BD$ треугольника $ABC$, в котором $AB = 4$ см, $BC = 6$ см, $\angle B = 120^\circ$.

Дано:

$AB = 4 \text{ см}$

$BC = 6 \text{ см}$

$\angle B = 120^\circ$

Перевод в СИ:

$AB = 0.04 \text{ м}$

$BC = 0.06 \text{ м}$

$\angle B = \frac{120 \cdot \pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

$BD$

Решение:

Для нахождения длины биссектрисы $BD$ угла $B$ в треугольнике $ABC$ можно использовать формулу, связывающую длину биссектрисы с длинами прилежащих сторон и углом между ними. Формула для биссектрисы $l_b$ угла $B$ выглядит так:

$l_b = \frac{2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B / 2)}{AB + BC}$

В данном случае $l_b = BD$, $AB = 4$ см, $BC = 6$ см, и $\angle B = 120^\circ$.

Сначала найдем половину угла $B$:

$\angle B / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$

Теперь найдем значение косинуса этого угла:

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Подставим известные значения в формулу для длины биссектрисы $BD$:

$BD = \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)}{4 + 6}$

$BD = \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}}{10}$

$BD = \frac{4 \cdot 6}{10}$

$BD = \frac{24}{10}$

$BD = 2.4 \text{ см}$

Ответ:

2.4 см

26. Даны точки $A(1; -2)$ и $B(9; 2)$. Найдите:

a) координаты середины $C$ отрезка $AB$;

б) точки, лежащие на координатных осях и равноудаленные от точек $A$ и $B$.

Дано:

Точки $A(1; -2)$ и $B(9; 2)$.

Найти:

а) координаты середины $C$ отрезка $AB$;

б) точки, лежащие на координатных осях и равноудаленные от точек $A$ и $B$.

Решение

а) координаты середины C отрезка AB

Для нахождения координат середины $C(x_C, y_C)$ отрезка $AB$ с концами $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ используем следующие формулы:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставляем координаты данных точек $A(1; -2)$ и $B(9; 2)$:

$x_C = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_C = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Ответ: Координаты середины отрезка $AB$ равны $C(5; 0)$.

б) точки, лежащие на координатных осях и равноудаленные от точек A и B

Точка, равноудаленная от двух данных точек, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему эти точки. Условие равноудаленности точки $P(x, y)$ от точек $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ выражается как $PA = PB$, или, что эквивалентно, $PA^2 = PB^2$. Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Для точек $A(1; -2)$, $B(9; 2)$ и искомой точки $P(x, y)$ имеем:

$(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = (x - x_B)^2 + (y - y_B)^2$

$(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = (x - 9)^2 + (y - 2)^2$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = (x - 9)^2 + (y - 2)^2$

Раскрываем скобки:

$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = x^2 - 18x + 81 + y^2 - 4y + 4$

Сокращаем члены $x^2$ и $y^2$ с обеих сторон уравнения:

$-2x + 4y + 5 = -18x - 4y + 85$

Переносим все члены с переменными в левую часть, а постоянные в правую:

$-2x + 18x + 4y + 4y = 85 - 5$

$16x + 8y = 80$

Делим все уравнение на 8 для упрощения:

$2x + y = 10$

Это уравнение серединного перпендикуляра к отрезку $AB$. Теперь найдем точки пересечения этой прямой с координатными осями.

1. Точка на оси абсцисс (оси X)

На оси X координата $y$ всегда равна 0. Подставляем $y = 0$ в уравнение $2x + y = 10$:

$2x + 0 = 10$

$2x = 10$

$x = 5$

Таким образом, точка на оси X, равноудаленная от $A$ и $B$, имеет координаты $(5; 0)$.

2. Точка на оси ординат (оси Y)

На оси Y координата $x$ всегда равна 0. Подставляем $x = 0$ в уравнение $2x + y = 10$:

$2(0) + y = 10$

$0 + y = 10$

$y = 10$

Таким образом, точка на оси Y, равноудаленная от $A$ и $B$, имеет координаты $(0; 10)$.

Ответ: Точки, лежащие на координатных осях и равноудаленные от точек $A$ и $B$, это $(5; 0)$ (на оси X) и $(0; 10)$ (на оси Y).

27. Постройте угол $\varphi$, если:

а) $ \sin \varphi = \frac{2}{5} $;

б) $ \cos \varphi = -\frac{3}{4} $.

Сколько решений имеет задача?

а) $\sin \varphi = \frac{2}{5}$

Дано: $\sin \varphi = \frac{2}{5}$

Найти: Угол $\varphi$ и количество решений.

Решение: Для построения угла $\varphi$ воспользуемся единичной окружностью. Единичная окружность - это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=1$. Значение синуса угла $\varphi$ соответствует ординате ($y$-координате) точки на единичной окружности, которая соответствует углу $\varphi$.

Поскольку $\sin \varphi = \frac{2}{5}$, это означает, что $y = \frac{2}{5}$.

Алгоритм построения угла $\varphi$:

1. Начертите декартову систему координат и единичную окружность с центром в начале координат.

2. На оси ординат (оси Y) отложите значение $y = \frac{2}{5}$. Так как $2/5 = 0.4$, это будет точка $(0, 0.4)$.

3. Проведите горизонтальную прямую через эту точку $(0, \frac{2}{5})$. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках.

4. Соедините начало координат с каждой из этих двух точек. Полученные отрезки будут радиусами единичной окружности.

5. Углы, образованные этими радиусами с положительным направлением оси абсцисс (оси X), и будут искомыми углами $\varphi$.

Поскольку $0 < \frac{2}{5} < 1$, горизонтальная прямая $y = \frac{2}{5}$ пересекает единичную окружность в двух различных точках. Одна из этих точек лежит в первой четверти, а другая – во второй четверти. Таким образом, в интервале $[0, 2\pi)$ (или от $0^\circ$ до $360^\circ$) существует два различных угла, синус которых равен $\frac{2}{5}$. Эти углы можно выразить как $\varphi_1 = \arcsin\left(\frac{2}{5}\right)$ и $\varphi_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{5}\right)$.

Если рассматривать все возможные значения угла (т.е., учитывать периодичность тригонометрических функций), то решений будет бесконечно много, представленных формулами $\varphi = (-1)^n \arcsin\left(\frac{2}{5}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Однако, если речь идет о количестве различных углов в пределах одного полного оборота (что является стандартной интерпретацией для таких задач), то решений будет два.

Ответ: Задача имеет два решения в пределах одного полного оборота ($[0, 2\pi)$).

б) $\cos \varphi = -\frac{3}{4}$

Дано: $\cos \varphi = -\frac{3}{4}$

Найти: Угол $\varphi$ и количество решений.

Решение: Для построения угла $\varphi$ также воспользуемся единичной окружностью. Значение косинуса угла $\varphi$ соответствует абсциссе ($x$-координате) точки на единичной окружности, которая соответствует углу $\varphi$.

Поскольку $\cos \varphi = -\frac{3}{4}$, это означает, что $x = -\frac{3}{4}$.

Алгоритм построения угла $\varphi$:

1. Начертите декартову систему координат и единичную окружность с центром в начале координат.

2. На оси абсцисс (оси X) отложите значение $x = -\frac{3}{4}$. Так как $-3/4 = -0.75$, это будет точка $(-0.75, 0)$.

3. Проведите вертикальную прямую через эту точку $(-\frac{3}{4}, 0)$. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках.

4. Соедините начало координат с каждой из этих двух точек. Полученные отрезки будут радиусами единичной окружности.

5. Углы, образованные этими радиусами с положительным направлением оси абсцисс (оси X), и будут искомыми углами $\varphi$.

Поскольку $-1 < -\frac{3}{4} < 1$, вертикальная прямая $x = -\frac{3}{4}$ пересекает единичную окружность в двух различных точках. Одна из этих точек лежит во второй четверти, а другая – в третьей четверти. Таким образом, в интервале $[0, 2\pi)$ (или от $0^\circ$ до $360^\circ$) существует два различных угла, косинус которых равен $-\frac{3}{4}$. Эти углы можно выразить как $\varphi_1 = \arccos\left(-\frac{3}{4}\right)$ и $\varphi_2 = 2\pi - \arccos\left(-\frac{3}{4}\right)$.

Если рассматривать все возможные значения угла, то решений будет бесконечно много, представленных формулой $\varphi = \pm \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Однако, если речь идет о количестве различных углов в пределах одного полного оборота, то решений будет два.

Ответ: Задача имеет два решения в пределах одного полного оборота ($[0, 2\pi)$).

28. Напишите уравнение окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $A(-3; 0)$, $B(0; 3\sqrt{3})$, $C(3; 0)$.

Дано:

Координаты вершин треугольника $ABC$:

• $A(-3; 0)$

• $B(0; 3\sqrt{3})$

• $C(3; 0)$

Не требуется, так как координаты заданы в безразмерных единицах.

Уравнение окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Уравнение окружности в общем виде имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус.

Заметим, что точки $A(-3; 0)$ и $C(3; 0)$ симметричны относительно оси $Oy$. Точка $B(0; 3\sqrt{3})$ лежит на оси $Oy$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

Центр описанной окружности для равнобедренного треугольника лежит на его оси симметрии, которая в данном случае совпадает с осью $Oy$. Следовательно, координата $a$ центра окружности равна $0$.

Таким образом, центр окружности имеет координаты $(0; b)$.

Радиус окружности $R$ — это расстояние от центра до любой из вершин треугольника. Так как все три вершины лежат на окружности, расстояния от центра до каждой из них должны быть равны $R$.

Используем точки $A$ и $B$ для нахождения $b$ и $R^2$:

• Расстояние от центра $(0; b)$ до точки $A(-3; 0)$:

  $R^2 = (0 - (-3))^2 + (b - 0)^2$

  $R^2 = 3^2 + b^2$

  $R^2 = 9 + b^2$ (1)

• Расстояние от центра $(0; b)$ до точки $B(0; 3\sqrt{3})$:

  $R^2 = (0 - 0)^2 + (b - 3\sqrt{3})^2$

  $R^2 = (b - 3\sqrt{3})^2$ (2)

Приравняем правые части уравнений (1) и (2), так как они обе равны $R^2$:

$9 + b^2 = (b - 3\sqrt{3})^2$

Раскроем скобки в правой части:

$9 + b^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 3\sqrt{3} + (3\sqrt{3})^2$

$9 + b^2 = b^2 - 6\sqrt{3}b + (9 \cdot 3)$

$9 + b^2 = b^2 - 6\sqrt{3}b + 27$

Вычтем $b^2$ из обеих частей уравнения:

$9 = -6\sqrt{3}b + 27$

Перенесем слагаемые, содержащие $b$, в одну сторону, а свободные члены в другую:

$6\sqrt{3}b = 27 - 9$

$6\sqrt{3}b = 18$

Найдем $b$:

$b = \frac{18}{6\sqrt{3}}$

$b = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$b = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2}$

$b = \frac{3\sqrt{3}}{3}$

$b = \sqrt{3}$

Таким образом, центр окружности находится в точке $(0; \sqrt{3})$.

Теперь найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив значение $b$ в уравнение (1):

$R^2 = 9 + b^2$

$R^2 = 9 + (\sqrt{3})^2$

$R^2 = 9 + 3$

$R^2 = 12$

Подставим координаты центра $(a, b) = (0, \sqrt{3})$ и $R^2 = 12$ в общее уравнение окружности:

$(x - 0)^2 + (y - \sqrt{3})^2 = 12$

Что упрощается до $x^2 + (y - \sqrt{3})^2 = 12$.

Уравнение окружности: $x^2 + (y - \sqrt{3})^2 = 12$.

29. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках $A(-3; 1)$, $B(-2; 6)$, $C(3; 7)$, $D(2; 2)$.

Дано:

Координаты вершин четырехугольника:

$A(-3; 1)$

$B(-2; 6)$

$C(3; 7)$

$D(2; 2)$

В данном случае перевод данных в систему СИ не требуется, так как координаты являются безразмерными величинами.

Найти:

Площадь четырехугольника $ABCD$

Решение:

Для нахождения площади многоугольника с заданными координатами вершин можно использовать формулу площади Гаусса, также известную как формула шнурка. Для четырехугольника с вершинами $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$, перечисленными в порядке обхода (по часовой или против часовой стрелки), площадь $S$ определяется по формуле:

$S = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) |$

Подставим заданные координаты вершин:

$x_1 = -3, y_1 = 1$

$x_2 = -2, y_2 = 6$

$x_3 = 3, y_3 = 7$

$x_4 = 2, y_4 = 2$

Вычислим первую часть суммы $(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1)$:

$(-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 7) + (3 \cdot 2) + (2 \cdot 1)$

$= -18 + (-14) + 6 + 2$

$= -18 - 14 + 6 + 2$

$= -32 + 8 = -24$

Вычислим вторую часть суммы $(y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)$:

$(1 \cdot (-2)) + (6 \cdot 3) + (7 \cdot 2) + (2 \cdot (-3))$

$= -2 + 18 + 14 + (-6)$

$= -2 + 18 + 14 - 6$

$= 16 + 8 = 24$

Теперь подставим полученные значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} | (-24) - (24) |$

$S = \frac{1}{2} | -48 |$

$S = \frac{1}{2} \cdot 48$

$S = 24$

Ответ:

Площадь четырехугольника $ABCD$ составляет $24$ квадратных единицы.