Страница 14 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. В прямоугольнике одна сторона равна $a$, а диагональ – $2a$. Чему равен тупой угол между диагоналями прямоугольника и его площадь?

Дано

Прямоугольник.

Длина одной стороны: $a$.

Длина диагонали: $d = 2a$.

Найти

Тупой угол между диагоналями прямоугольника.

Площадь прямоугольника.

Решение

Тупой угол между диагоналями прямоугольника

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Диагональ прямоугольника равна $d$. По условию, одна сторона равна $a$, а диагональ равна $2a$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника и его диагональю, имеем:

$a^2 + b^2 = d^2$

Подставим известные значения:

$a^2 + b^2 = (2a)^2$

$a^2 + b^2 = 4a^2$

$b^2 = 4a^2 - a^2$

$b^2 = 3a^2$

$b = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Таким образом, стороны прямоугольника равны $a$ и $a\sqrt{3}$.

Диагонали прямоугольника равны по длине и в точке пересечения делятся пополам. Длина каждой диагонали равна $d = 2a$. Следовательно, половина каждой диагонали равна $d/2 = (2a)/2 = a$.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной прямоугольника, длина которой $a$. Стороны этого треугольника: $a$ (половина одной диагонали), $a$ (половина другой диагонали) и $a$ (сторона прямоугольника).

Поскольку все три стороны этого треугольника равны $a$, он является равносторонним. Углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.

Угол между диагоналями, который лежит напротив стороны $a$, равен $60^\circ$. Это острый угол.

Тупой угол между диагоналями является смежным с острым углом. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Следовательно, тупой угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

Его площадь

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение длин его сторон.

Мы нашли, что стороны прямоугольника равны $a$ и $b = a\sqrt{3}$.

$S = a \cdot b$

$S = a \cdot (a\sqrt{3})$

$S = a^2\sqrt{3}$

Ответ: $a^2\sqrt{3}$

6. Найдите площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярны, а основания равны 2 см и 4 см.

Дано:

Равнобедренная трапеция, диагонали которой перпендикулярны.

Основания: $a = 4 \text{ см}$, $b = 2 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$b = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь трапеции $S$.

Решение:

Для равнобедренной трапеции, у которой диагонали взаимно перпендикулярны, существует свойство, согласно которому ее высота $h$ равна полусумме длин оснований.

Формула для высоты в данном случае: $h = \frac{a+b}{2}$

Подставим значения оснований:

$h = \frac{4 \text{ см} + 2 \text{ см}}{2} = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$

Площадь трапеции вычисляется по стандартной формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Подставим значения оснований и найденную высоту:

$S = \frac{4 \text{ см} + 2 \text{ см}}{2} \cdot 3 \text{ см} = \frac{6 \text{ см}}{2} \cdot 3 \text{ см} = 3 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 9 \text{ см}^2$

Также, для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями, ее площадь может быть найдена по упрощенной формуле, которая непосредственно следует из приведенного выше свойства: $S = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$

Подставим значения оснований в эту формулу:

$S = \left(\frac{4 \text{ см} + 2 \text{ см}}{2}\right)^2 = \left(\frac{6 \text{ см}}{2}\right)^2 = (3 \text{ см})^2 = 9 \text{ см}^2$

Ответ:

Площадь равнобедренной трапеции составляет $9 \text{ см}^2$.

7. а) Найдите углы параллелограмма MNPK, изображенного на рисунке 31, если угол LPH равен $135^\circ$.

б) По одну сторону от прямой $b$ даны две точки $B$ и $C$ на расстоянии соответственно 8 см и 14 см от нее. Найдите расстояние от середины отрезка $BC$ до прямой $b$.

Рисунок 31

а) Найдите углы параллелограмма MNPK, изображенного на рисунке 31, если угол LPH равен 135°.

Дано:

Параллелограмм $MNPK$.

На рисунке 31 указаны прямые углы: $\angle KLP = 90^\circ$ и $\angle PHK = 90^\circ$.

Известен угол: $\angle LPH = 135^\circ$.

Найти:

Углы параллелограмма $MNPK$.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник $LPHK$.

По условию, обозначенному на рисунке 31, углы $\angle KLP$ и $\angle PHK$ являются прямыми, то есть $\angle KLP = 90^\circ$ и $\angle PHK = 90^\circ$.

Сумма этих двух противоположных углов равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна $180^\circ$, то такой четырёхугольник является вписанным, то есть вокруг него можно описать окружность.

Следовательно, четырёхугольник $LPHK$ является вписанным в некоторую окружность.

Для любого вписанного четырёхугольника справедливо свойство, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

Таким образом, для четырёхугольника $LPHK$ выполняется соотношение: $\angle LKH + \angle LPH = 180^\circ$.

По условию задачи, нам дан угол $\angle LPH = 135^\circ$.

Подставим это значение в уравнение: $\angle LKH + 135^\circ = 180^\circ$.

Отсюда находим величину угла $\angle LKH$: $\angle LKH = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

На рисунке видно, что угол $\angle LKH$ является углом $\angle K$ параллелограмма $MNPK$ (то есть $\angle NKP$).

Следовательно, $\angle NKP = 45^\circ$.

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому $\angle MNP = \angle NKP = 45^\circ$.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

Таким образом, $\angle NPK = 180^\circ - \angle NKP = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Также, противоположный угол $\angle NMK = \angle NPK = 135^\circ$.

Ответ:

Углы параллелограмма $MNPK$ равны $45^\circ$, $135^\circ$, $45^\circ$, $135^\circ$.

б) По одну сторону от прямой b даны две точки B и C на расстоянии соответственно 8 см и 14 см от нее. Найдите расстояние от середины отрезка BC до прямой b.

Дано:

Прямая $b$.

Точки $B$ и $C$ расположены по одну сторону от прямой $b$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $b$ равно $h_B = 8$ см.

Расстояние от точки $C$ до прямой $b$ равно $h_C = 14$ см.

Точка $M$ является серединой отрезка $BC$.

Найти:

Расстояние от точки $M$ до прямой $b$.

Решение:

Проведём из точек $B$, $M$ и $C$ перпендикуляры к прямой $b$. Пусть точки их пересечения с прямой $b$ будут $B_1$, $M_1$ и $C_1$ соответственно.

Тогда $BB_1 = 8$ см и $CC_1 = 14$ см. Нам необходимо найти длину отрезка $MM_1$.

Поскольку $BB_1 \perp b$, $MM_1 \perp b$ и $CC_1 \perp b$, эти три отрезка параллельны друг другу: $BB_1 \parallel MM_1 \parallel CC_1$.

Рассмотрим трапецию $BB_1C_1C$, у которой параллельные стороны $BB_1$ и $CC_1$. Отрезок $MM_1$ соединяет середину непараллельной стороны $BC$ с основанием $B_1C_1$.

Для решения этой задачи можно воспользоваться свойством средней линии трапеции или методом подобных треугольников.

Проведём через точку $B$ прямую, параллельную прямой $b$. Пусть эта прямая пересекает отрезок $MM_1$ в точке $K$ и отрезок $CC_1$ в точке $L$.

Четырёхугольник $BB_1L_1L$ (где $L_1$ - проекция $L$ на $b$) является прямоугольником. Также $BB_1M_1K$ является прямоугольником. Следовательно, $BK = B_1M_1$ и $CL = CC_1 - BB_1$.

В треугольнике $\triangle BLC$, отрезок $MK$ параллелен стороне $LC$ (так как $MM_1 \parallel CC_1$, и $BKL$ - прямая, параллельная $B_1C_1$).

Поскольку $M$ является серединой отрезка $BC$ и $MK \parallel LC$, то по теореме Фалеса (или свойству средней линии треугольника), точка $K$ является серединой отрезка $BL$.

Следовательно, длина отрезка $MK$ равна половине длины отрезка $LC$: $MK = \frac{1}{2} LC$.

Длина отрезка $LC$ вычисляется как разность длин перпендикуляров $CC_1$ и $BB_1$ (так как $CL$ является частью $CC_1$ после вычета $BB_1$):

$LC = CC_1 - BB_1 = 14 \text{ см} - 8 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Теперь найдём длину $MK$:

$MK = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} = 3 \text{ см}$.

Расстояние от точки $M$ до прямой $b$ равно $MM_1 = MK + KB_1$. Так как $BB_1M_1K$ - прямоугольник, $KB_1 = BB_1$.

$MM_1 = MK + BB_1 = 3 \text{ см} + 8 \text{ см} = 11 \text{ см}$.

Таким образом, расстояние от середины отрезка $BC$ до прямой $b$ равно среднему арифметическому расстояний от точек $B$ и $C$ до прямой $b$, когда эти точки находятся по одну сторону от прямой:

$MM_1 = \frac{h_B + h_C}{2} = \frac{8 \text{ см} + 14 \text{ см}}{2} = \frac{22 \text{ см}}{2} = 11 \text{ см}$.

Ответ:

Расстояние от середины отрезка $BC$ до прямой $b$ равно $11$ см.

8. $ABCD$ – ромб, диагонали которого пересекаются в точке $O$ и $\angle A=60^\circ$. Точки $M$ и $N$ – середины сторон $AD$ и $AB$ соответственно. Найдите периметр четырехугольника $MNOD$, если $BC = 16$ см.

Дано:

$ABCD$ – ромб

Диагонали пересекаются в точке $O$

$\angle A = 60^\circ$

$M$ – середина стороны $AD$

$N$ – середина стороны $AB$

$BC = 16$ см

Найти:

Периметр четырехугольника $MNOD$

Решение:

1. Определение длин сторон ромба и диагонали $BD$:

Поскольку $ABCD$ – ромб, все его стороны равны. Следовательно, $AB = BC = CD = AD = 16$ см.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $ABCD$ – ромб, то $AB = AD$. Угол $\angle A = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике $ABD$ с углом при вершине $60^\circ$ он является равносторонним.

Следовательно, $AB = AD = BD = 16$ см.

2. Нахождение длин отрезков $OD$ и $DM$:

Диагонали ромба пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Так как $BD = 16$ см, то $OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Точка $M$ – середина стороны $AD$. Так как $AD = 16$ см, то $DM = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

3. Нахождение длин отрезков $MN$ и $NO$:

Рассмотрим треугольник $ABD$.

Точки $M$ и $N$ – середины сторон $AD$ и $AB$ соответственно. Следовательно, $MN$ – средняя линия треугольника $ABD$. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине. Третьей стороной является $BD$.

Тогда $MN = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Точка $N$ – середина стороны $AB$. Точка $O$ – середина диагонали $BD$. Следовательно, $NO$ – средняя линия треугольника $ABD$, соединяющая середины сторон $AB$ и $BD$. Третьей стороной является $AD$.

Тогда $NO = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

4. Вычисление периметра четырехугольника $MNOD$:

Периметр четырехугольника $MNOD$ равен сумме длин его сторон: $P_{MNOD} = MN + NO + OD + DM$.

$P_{MNOD} = 8 \text{ см} + 8 \text{ см} + 8 \text{ см} + 8 \text{ см} = 32$ см.

Ответ: $32$ см

9. а) Вершины четырехугольника $ABCD$ принадлежат окружности, причем $AC$ – ее диаметр (рисунок 32, а). Найдите угол $C$, если угол $A$ равен $125^\circ$.

б) На рисунке 32, б $ABCD$ – трапеция, $AD \parallel MF \parallel NP \parallel KL$. Используя данные на этом рисунке, найдите длины отрезков $MF, NP, KL$.

Рисунок 32

Дано:
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. $AC$ — диаметр окружности. $\angle A = 125^\circ$.

Найти:
$\angle C$

Решение:
Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
Следовательно, $\angle A + \angle C = 180^\circ$.
Дано, что $\angle A = 125^\circ$.
Тогда $\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$.
Информация о том, что $AC$ является диаметром, означает, что $\angle B = 90^\circ$ и $\angle D = 90^\circ$ (как углы, опирающиеся на диаметр), но эта информация не требуется для нахождения $\angle C$ в данном случае.

Ответ: $\angle C = 55^\circ$.

Дано:
Трапеция $ABCD$. Основания $BC = 2$ см, $AD = 6$ см. Отрезки $MF, NP, KL$ параллельны основаниям, т.е. $AD \parallel MF \parallel NP \parallel KL \parallel BC$.
Сторона $AB$ разделена на равные отрезки: $AM = MN = NK = KB$.
Сторона $CD$ также разделена на равные отрезки: $DL = LP = PF = FC$.

Найти:
Длины отрезков $MF, NP, KL$.

Решение:
Так как боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ разделены на равные части, а отрезки $MF, NP, KL$ параллельны основаниям, мы можем использовать свойство отрезков, параллельных основаниям трапеции и делящих боковые стороны на равные части.
Общая формула для длины $k$-го отрезка (считая от верхней основы) в трапеции, боковые стороны которой разделены на $n$ равных частей, выглядит так:

$L_k = L_{верхняя} + k \cdot \frac{L_{нижняя} - L_{верхняя}}{n}$

В нашем случае:
$L_{верхняя} = BC = 2$ см
$L_{нижняя} = AD = 6$ см
Количество равных частей на боковой стороне $n = 4$ (так как $AM=MN=NK=KB$).

Найдем длину отрезка $KL$. Этот отрезок является первым отрезком от верхнего основания $BC$ (так как $KB$ — первая часть от $B$). Значит, $k=1$.
$KL = 2 + 1 \cdot \frac{6 - 2}{4} = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$ см.

Найдем длину отрезка $NP$. Этот отрезок является вторым отрезком от верхнего основания $BC$ (так как $NB = NK + KB$ — это две части от $B$). Значит, $k=2$.
$NP = 2 + 2 \cdot \frac{6 - 2}{4} = 2 + 2 \cdot \frac{4}{4} = 2 + 2 = 4$ см.

Найдем длину отрезка $MF$. Этот отрезок является третьим отрезком от верхнего основания $BC$ (так как $MB = MN + NK + KB$ — это три части от $B$). Значит, $k=3$.
$MF = 2 + 3 \cdot \frac{6 - 2}{4} = 2 + 3 \cdot \frac{4}{4} = 2 + 3 = 5$ см.

Ответ: $MF = 5$ см, $NP = 4$ см, $KL = 3$ см.