Номер 9, страница 14 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

9. а) Вершины четырехугольника $ABCD$ принадлежат окружности, причем $AC$ – ее диаметр (рисунок 32, а). Найдите угол $C$, если угол $A$ равен $125^\circ$.

б) На рисунке 32, б $ABCD$ – трапеция, $AD \parallel MF \parallel NP \parallel KL$. Используя данные на этом рисунке, найдите длины отрезков $MF, NP, KL$.

Рисунок 32

Дано:
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. $AC$ — диаметр окружности. $\angle A = 125^\circ$.

Найти:
$\angle C$

Решение:
Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
Следовательно, $\angle A + \angle C = 180^\circ$.
Дано, что $\angle A = 125^\circ$.
Тогда $\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$.
Информация о том, что $AC$ является диаметром, означает, что $\angle B = 90^\circ$ и $\angle D = 90^\circ$ (как углы, опирающиеся на диаметр), но эта информация не требуется для нахождения $\angle C$ в данном случае.

Ответ: $\angle C = 55^\circ$.

Дано:
Трапеция $ABCD$. Основания $BC = 2$ см, $AD = 6$ см. Отрезки $MF, NP, KL$ параллельны основаниям, т.е. $AD \parallel MF \parallel NP \parallel KL \parallel BC$.
Сторона $AB$ разделена на равные отрезки: $AM = MN = NK = KB$.
Сторона $CD$ также разделена на равные отрезки: $DL = LP = PF = FC$.

Найти:
Длины отрезков $MF, NP, KL$.

Решение:
Так как боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ разделены на равные части, а отрезки $MF, NP, KL$ параллельны основаниям, мы можем использовать свойство отрезков, параллельных основаниям трапеции и делящих боковые стороны на равные части.
Общая формула для длины $k$-го отрезка (считая от верхней основы) в трапеции, боковые стороны которой разделены на $n$ равных частей, выглядит так:

$L_k = L_{верхняя} + k \cdot \frac{L_{нижняя} - L_{верхняя}}{n}$

В нашем случае:
$L_{верхняя} = BC = 2$ см
$L_{нижняя} = AD = 6$ см
Количество равных частей на боковой стороне $n = 4$ (так как $AM=MN=NK=KB$).

Найдем длину отрезка $KL$. Этот отрезок является первым отрезком от верхнего основания $BC$ (так как $KB$ — первая часть от $B$). Значит, $k=1$.
$KL = 2 + 1 \cdot \frac{6 - 2}{4} = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$ см.

Найдем длину отрезка $NP$. Этот отрезок является вторым отрезком от верхнего основания $BC$ (так как $NB = NK + KB$ — это две части от $B$). Значит, $k=2$.
$NP = 2 + 2 \cdot \frac{6 - 2}{4} = 2 + 2 \cdot \frac{4}{4} = 2 + 2 = 4$ см.

Найдем длину отрезка $MF$. Этот отрезок является третьим отрезком от верхнего основания $BC$ (так как $MB = MN + NK + KB$ — это три части от $B$). Значит, $k=3$.
$MF = 2 + 3 \cdot \frac{6 - 2}{4} = 2 + 3 \cdot \frac{4}{4} = 2 + 3 = 5$ см.

Ответ: $MF = 5$ см, $NP = 4$ см, $KL = 3$ см.