Номер 15, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Найдите стороны прямоугольного $\triangle ABC (\angle C = 90^\circ)$, если:

a) высота $CD = 6$ см, $AD = 2$ см;

б) высота $CD = 5\sqrt{2}$ см, $BD : DA = 1 : 2$.

а) высота $CD = 6$ см, $AD = 2$ см

Дано:

треугольник $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $CD$ — высота, $CD \perp AB$, $CD = 6 \text{ см}$, $AD = 2 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$CD = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$AD = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

стороны $AB$, $AC$, $BC$.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ высота $CD$, проведенная к гипотенузе $AB$, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу. То есть $CD^2 = AD \cdot DB$.

Подставим известные значения: $(6 \text{ см})^2 = (2 \text{ см}) \cdot DB$.

$36 \text{ см}^2 = 2 \text{ см} \cdot DB$.

Отсюда $DB = \frac{36}{2} \text{ см} = 18 \text{ см}$.

2. Длина гипотенузы $AB$ равна сумме отрезков $AD$ и $DB$: $AB = AD + DB$.

$AB = 2 \text{ см} + 18 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

3. Найдем длину катета $AC$. Катет прямоугольного треугольника равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. То есть $AC^2 = AD \cdot AB$.

$AC^2 = (2 \text{ см}) \cdot (20 \text{ см}) = 40 \text{ см}^2$.

$AC = \sqrt{40} \text{ см} = \sqrt{4 \cdot 10} \text{ см} = 2\sqrt{10} \text{ см}$.

4. Найдем длину катета $BC$. Аналогично, $BC^2 = DB \cdot AB$.

$BC^2 = (18 \text{ см}) \cdot (20 \text{ см}) = 360 \text{ см}^2$.

$BC = \sqrt{360} \text{ см} = \sqrt{36 \cdot 10} \text{ см} = 6\sqrt{10} \text{ см}$.

Ответ: $AB = 20 \text{ см}$, $AC = 2\sqrt{10} \text{ см}$, $BC = 6\sqrt{10} \text{ см}$.

б) высота $CD = 5\sqrt{2}$ см, $BD : DA = 1 : 2$

Дано:

треугольник $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $CD$ — высота, $CD \perp AB$, $CD = 5\sqrt{2} \text{ см}$, $BD : DA = 1 : 2$.

Перевод в СИ:

$CD = 5\sqrt{2} \text{ см} \approx 7.07 \text{ см} = 0.05\sqrt{2} \text{ м}$

(отношение $BD:DA$ является безразмерной величиной, поэтому перевод в систему СИ не требуется).

Найти:

стороны $AB$, $AC$, $BC$.

Решение:

1. Пусть длина отрезка $BD = x$ см. Тогда из заданного отношения $BD : DA = 1 : 2$ следует, что $DA = 2x$ см.

2. Используем теорему о высоте, проведенной к гипотенузе: $CD^2 = AD \cdot DB$.

Подставим известные значения: $(5\sqrt{2} \text{ см})^2 = (2x \text{ см}) \cdot (x \text{ см})$.

$25 \cdot 2 \text{ см}^2 = 2x^2 \text{ см}^2$.

$50 = 2x^2$.

Разделим обе части на 2: $x^2 = 25$.

Так как $x$ представляет собой длину отрезка, $x$ должно быть положительным. Следовательно, $x = \sqrt{25} = 5$.

3. Найдем длины отрезков $BD$ и $DA$:

$BD = x = 5 \text{ см}$.

$DA = 2x = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$.

4. Длина гипотенузы $AB$ равна сумме отрезков $AD$ и $DB$: $AB = AD + DB$.

$AB = 10 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$.

5. Найдем длину катета $AC$. Используем теорему о катете: $AC^2 = AD \cdot AB$.

$AC^2 = (10 \text{ см}) \cdot (15 \text{ см}) = 150 \text{ см}^2$.

$AC = \sqrt{150} \text{ см} = \sqrt{25 \cdot 6} \text{ см} = 5\sqrt{6} \text{ см}$.

6. Найдем длину катета $BC$. Аналогично, $BC^2 = DB \cdot AB$.

$BC^2 = (5 \text{ см}) \cdot (15 \text{ см}) = 75 \text{ см}^2$.

$BC = \sqrt{75} \text{ см} = \sqrt{25 \cdot 3} \text{ см} = 5\sqrt{3} \text{ см}$.

Ответ: $AB = 15 \text{ см}$, $AC = 5\sqrt{6} \text{ см}$, $BC = 5\sqrt{3} \text{ см}$.