Номер 17, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. В прямоугольнике $ABCD$ точка $N$ делит сторону $AD$ в отношении $2 : 3$, считая от вершины $A$. В каком отношении отрезок $BN$ делит площадь прямоугольника?

17. В каком отношении отрезок BN делит площадь прямоугольника?

Дано:

прямоугольник $ABCD$
точка $N$ лежит на стороне $AD$
$AN : ND = 2 : 3$

Найти:

отношение, в котором отрезок $BN$ делит площадь прямоугольника $ABCD$.

Решение:

Пусть длина стороны $AB$ прямоугольника $ABCD$ равна $a$, а длина стороны $AD$ равна $b$.
Тогда общая площадь прямоугольника $ABCD$ равна $S_{ABCD} = AB \cdot AD = ab$.

Точка $N$ делит сторону $AD$ в отношении $2:3$, считая от вершины $A$.
Это означает, что $AN : ND = 2 : 3$.
Общее количество частей, на которые разделена сторона $AD$, равно $2 + 3 = 5$.
Следовательно, длина отрезка $AN$ составляет $\frac{2}{5}$ от длины $AD$: $AN = \frac{2}{5}b$.
Длина отрезка $ND$ составляет $\frac{3}{5}$ от длины $AD$: $ND = \frac{3}{5}b$.

Отрезок $BN$ разделяет прямоугольник $ABCD$ на две фигуры: треугольник $ABN$ и четырехугольник $BCDN$.

Рассмотрим треугольник $ABN$. Поскольку $ABCD$ - прямоугольник, угол $\angle A$ равен $90^\circ$.
Таким образом, треугольник $ABN$ является прямоугольным с катетами $AB$ и $AN$.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения длин его катетов.
$S_{ABN} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AN$.
Подставим значения $AB = a$ и $AN = \frac{2}{5}b$:
$S_{ABN} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{2}{5}b\right) = \frac{1}{5}ab$.

Площадь второй части, четырехугольника $BCDN$, можно найти, вычтя площадь треугольника $ABN$ из общей площади прямоугольника $ABCD$.
$S_{BCDN} = S_{ABCD} - S_{ABN}$.
$S_{BCDN} = ab - \frac{1}{5}ab = \frac{5}{5}ab - \frac{1}{5}ab = \frac{4}{5}ab$.

Теперь найдем отношение, в котором отрезок $BN$ делит площадь прямоугольника. Это отношение равно $S_{ABN} : S_{BCDN}$.
$S_{ABN} : S_{BCDN} = \left(\frac{1}{5}ab\right) : \left(\frac{4}{5}ab\right)$.
Поскольку $ab$ является ненулевым значением (длины сторон прямоугольника не равны нулю), мы можем сократить $ab$ из обеих частей отношения:
$\frac{1}{5} : \frac{4}{5}$.
Чтобы получить отношение целых чисел, умножим обе части отношения на $5$:
$1 : 4$.

Ответ: $1:4$