Номер 16, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Докажите, что треугольник со сторонами 3,7 см, 3,5 см и 1,2 см является прямоугольным и найдите его высоту, проведенную к большей стороне.

Дано:

Стороны треугольника: $a = 3.5$ см, $b = 1.2$ см, $c = 3.7$ см

Перевод в систему СИ:

$a = 3.5 \text{ см} = 0.035 \text{ м}$

$b = 1.2 \text{ см} = 0.012 \text{ м}$

$c = 3.7 \text{ см} = 0.037 \text{ м}$

Найти:

1. Доказать, что треугольник является прямоугольным.

2. Найти высоту $h_c$, проведенную к большей стороне.

Решение:

Докажите, что треугольник со сторонами 3,7 см, 3,5 см и 1,2 см является прямоугольным

Для доказательства того, что треугольник является прямоугольным, используем обратную теорему Пифагора. Согласно этой теореме, если квадрат самой длинной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.

Обозначим стороны треугольника: $a = 3.5$ см, $b = 1.2$ см, $c = 3.7$ см.

Самая длинная сторона (предполагаемая гипотенуза) - это $c = 3.7$ см.

Вычислим квадрат самой длинной стороны:

$c^2 = (3.7)^2 = 13.69$

Вычислим сумму квадратов двух других сторон (предполагаемых катетов):

$a^2 + b^2 = (3.5)^2 + (1.2)^2 = 12.25 + 1.44 = 13.69$

Сравним полученные результаты:

Так как $c^2 = a^2 + b^2$ ($13.69 = 13.69$), то условие обратной теоремы Пифагора выполняется. Следовательно, треугольник является прямоугольным. Прямой угол расположен напротив стороны длиной 3.7 см.

Ответ: Треугольник является прямоугольным.

найдите его высоту, проведенную к большей стороне

В прямоугольном треугольнике большая сторона является гипотенузой. Высота, проведенная к гипотенузе ($h_c$), может быть найдена через площадь треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ может быть выражена двумя способами:

1. Через катеты ($a$ и $b$): $S = \frac{1}{2}ab$

2. Через гипотенузу $c$ и высоту $h_c$, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch_c$

Приравняем эти выражения для площади, так как речь идет об одном и том же треугольнике:

$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c$

Умножим обе части на 2:

$ab = ch_c$

Выразим высоту $h_c$ из этого уравнения:

$h_c = \frac{ab}{c}$

Подставим известные значения сторон:

$h_c = \frac{3.5 \text{ см} \cdot 1.2 \text{ см}}{3.7 \text{ см}}$

Выполним умножение в числителе:

$h_c = \frac{4.2}{3.7}$ см

Вычислим числовое значение, округлив до двух знаков после запятой:

$h_c \approx 1.135135... \text{ см}$

$h_c \approx 1.14 \text{ см}$

Ответ: Высота, проведенная к большей стороне, составляет примерно $1.14$ см (или точно $\frac{4.2}{3.7}$ см).