Номер 18, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. В прямоугольном $\triangle ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, $CH$ - высота.

Докажите, что площадь $\triangle ACH$ в 3 раза больше площади $\triangle BCH$.

Дано

• Треугольник $\triangle ABC$ - прямоугольный.

• $\angle C = 90^\circ$

• $\angle A = 30^\circ$

• $CH$ - высота, опущенная из вершины $C$ на гипотенузу $AB$.

Перевод в СИ: данные представлены в угловых единицах (градусы), которые не требуют перевода в СИ для данной задачи. Длины сторон не даны, поэтому единицы измерения длин неактуальны для перевода.

Найти:

• Доказать, что площадь $\triangle ACH$ в 3 раза больше площади $\triangle BCH$, т.е. $S_{\triangle ACH} = 3 \cdot S_{\triangle BCH}$.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Поскольку $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 30^\circ$, то $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Высота $CH$ опущена из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. Эта высота делит исходный треугольник $\triangle ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$ (угол $\angle AHC = 90^\circ$, так как $CH$ - высота). В этом треугольнике известен угол $\angle A = 30^\circ$. Выразим катет $AH$ через катет $CH$ и угол $\angle A$ с помощью тригонометрических соотношений: $AH = CH \cdot \cot(\angle A)$. Подставим значение $\angle A = 30^\circ$: $AH = CH \cdot \cot(30^\circ) = CH \cdot \sqrt{3}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCH$ (угол $\angle BHC = 90^\circ$, так как $CH$ - высота). В этом треугольнике известен угол $\angle B = 60^\circ$. Выразим катет $BH$ через катет $CH$ и угол $\angle B$: $BH = CH \cdot \cot(\angle B)$. Подставим значение $\angle B = 60^\circ$: $BH = CH \cdot \cot(60^\circ) = CH \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем отношение длин отрезков $AH$ и $BH$: $\frac{AH}{BH} = \frac{CH \cdot \sqrt{3}}{CH \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$. Отсюда следует, что $AH = 3 \cdot BH$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Для треугольника $\triangle ACH$ основанием является $AH$, а высотой $CH$. $S_{\triangle ACH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot CH$. Для треугольника $\triangle BCH$ основанием является $BH$, а высотой $CH$. $S_{\triangle BCH} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot CH$.

Подставим найденное соотношение $AH = 3 \cdot BH$ в формулу для площади $\triangle ACH$: $S_{\triangle ACH} = \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot BH) \cdot CH = 3 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot BH \cdot CH\right)$.

Так как выражение в скобках $\left(\frac{1}{2} \cdot BH \cdot CH\right)$ является площадью $\triangle BCH$, то получаем: $S_{\triangle ACH} = 3 \cdot S_{\triangle BCH}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Площадь $\triangle ACH$ в 3 раза больше площади $\triangle BCH$.