Номер 23, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см, а высота, проведенная к основанию, – 16 см. Найдите длину медианы треугольника, проведенной к его боковой стороне.

Дано:

Основание равнобедренного треугольника $AC = 8$ см.
Высота, проведенная к основанию, $BH = 16$ см.

Перевод в СИ:
$AC = 0.08$ м
$BH = 0.16$ м

Найти:

Длина медианы, проведенной к боковой стороне, $AK$.

Решение

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = BC$ - боковые стороны, а $AC$ - основание.

Высота $BH$, проведенная к основанию $AC$, в равнобедренном треугольнике также является медианой, поэтому она делит основание пополам. Точка $H$ является серединой основания $AC$. Следовательно, $AH = HC = \frac{AC}{2}$.

Подставляя значение $AC = 8$ см, получаем: $AH = HC = \frac{8}{2} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (прямой угол при вершине $H$). По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $BC^2 = BH^2 + HC^2$.

Подставим известные значения: $BC^2 = 16^2 + 4^2$ $BC^2 = 256 + 16$ $BC^2 = 272$ $BC = \sqrt{272}$ Упростим корень: $BC = \sqrt{16 \cdot 17} = 4\sqrt{17}$ см.

Таким образом, длины боковых сторон равнобедренного треугольника равны $AB = BC = 4\sqrt{17}$ см.

Теперь найдем длину медианы, проведенной к одной из боковых сторон, например, медианы $AK$ к стороне $BC$. Точка $K$ является серединой стороны $BC$.

Для вычисления длины медианы $m_a$ (проведенной к стороне $a$) в треугольнике со сторонами $a, b, c$ используется следующая формула: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$.

В нашем треугольнике $ABC$: Сторона, к которой проведена медиана $AK$, это $a = BC = 4\sqrt{17}$ см. Две другие стороны: $b = AC = 8$ см и $c = AB = 4\sqrt{17}$ см.

Подставим эти значения в формулу для длины медианы $AK$: $AK^2 = \frac{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot AB^2 - BC^2}{4}$ $AK^2 = \frac{2 \cdot 8^2 + 2 \cdot (4\sqrt{17})^2 - (4\sqrt{17})^2}{4}$ $AK^2 = \frac{2 \cdot 64 + (2 - 1) \cdot (4\sqrt{17})^2}{4}$ $AK^2 = \frac{128 + (4\sqrt{17})^2}{4}$ $AK^2 = \frac{128 + 16 \cdot 17}{4}$ $AK^2 = \frac{128 + 272}{4}$ $AK^2 = \frac{400}{4}$ $AK^2 = 100$ $AK = \sqrt{100}$ $AK = 10$ см.

Ответ: 10 см