Вопросы, страница 21 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Что называется вектором? Назовите начало и конец вектора $ \vec{CD} $.

2. Какой вектор называется нулевым?

3. Что называется длиной вектора? Чему равна длина нулевого вектора?

4. Какие векторы называются коллинеарными, одинаково направленными, противоположно направленными?

5. Дайте определение равных векторов.

6. Сформулируйте и докажите теорему об откладывании вектора от точки.

1. Что называется вектором? Назовите начало и конец вектора $\vec{CD}$.

Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом. Для вектора $\vec{CD}$ точкой начала является $C$, а точкой конца — $D$.

Ответ:

2. Какой вектор называется нулевым?

Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, а направление не определено.

Ответ:

3. Что называется длиной вектора? Чему равна длина нулевого вектора?

Длиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего этот вектор. Длина вектора $\vec{AB}$ обозначается как $|\vec{AB}|$ или $AB$. Длина нулевого вектора равна нулю.

Ответ:

4. Какие векторы называются коллинеарными, одинаково направленными, противоположно направленными?

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два ненулевых коллинеарных вектора называются одинаково направленными, если они направлены в одну сторону. Это обозначается символом $\uparrow\uparrow$, например $\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}$.

Два ненулевых коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если они направлены в разные стороны. Это обозначается символом $\uparrow\downarrow$, например $\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}$.

Ответ:

5. Дайте определение равных векторов.

Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины. Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, то пишут $\vec{a} = \vec{b}$.

Ответ:

6. Сформулируйте и докажите теорему об откладывании вектора от точки.

Теорема: От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Доказательство:

Пусть дан вектор $\vec{a}$ и точка $A$. Требуется отложить от точки $A$ вектор $\vec{AB}$, равный вектору $\vec{a}$.

1. Существование: Пусть вектор $\vec{a}$ представлен как $\vec{MN}$.

а) Если точка $M$ совпадает с точкой $A$, то точка $B$ совпадает с точкой $N$, и вектор $\vec{AN}$ является искомым вектором $\vec{AB}$.

б) Если точка $M$ не совпадает с точкой $A$:

Если точки $A, M, N$ не лежат на одной прямой, то построим параллелограмм $AMNB$. В этом параллелограмме по свойству противоположных сторон, отрезки $AB$ и $MN$ равны по длине, и прямые $AB$ и $MN$ параллельны. Направление вектора $\vec{AB}$ совпадает с направлением вектора $\vec{MN}$. Следовательно, вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{MN}$, то есть $\vec{AB} = \vec{a}$.

Если точки $A, M, N$ лежат на одной прямой, то на этой прямой от точки $A$ отложим отрезок $AB$, длина которого равна длине отрезка $MN$, и направление от $A$ к $B$ совпадает с направлением от $M$ к $N$. Такой отрезок всегда можно построить, и вектор $\vec{AB}$ будет равен $\vec{MN}$.

Таким образом, всегда существует вектор $\vec{AB}$, равный данному вектору $\vec{a}$, отложенный от точки $A$.

2. Единственность: Предположим, что существуют два вектора $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, отложенные от точки $A$ и равные вектору $\vec{a}$.

По определению равенства векторов, если $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AC} = \vec{a}$, то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ должны быть одинаково направлены и иметь одинаковую длину. Поскольку оба вектора начинаются в одной точке $A$ и имеют одно и то же направление и одну и ту же длину, то их конечные точки $B$ и $C$ должны совпадать. Следовательно, $B = C$, и векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ являются одним и тем же вектором.

Таким образом, от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Ответ: