Номер 30, страница 21 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Начертите векторы, изображающие полет самолета сначала на 400 км на восток от города M до N, а потом на 300 км на юг от города N до K. Постройте вектор $ \overrightarrow{MK} $, изображающий перемещение из начальной точки полета в конечную. Найдите длину вектора $ \overrightarrow{MK} $.

Дано:

Длина первого перемещения (от M до N на восток): $S_1 = |\vec{MN}| = 400 \text{ км}$

Длина второго перемещения (от N до K на юг): $S_2 = |\vec{NK}| = 300 \text{ км}$

Перевод в СИ:

$S_1 = 400 \text{ км} = 400 \cdot 10^3 \text{ м}$

$S_2 = 300 \text{ км} = 300 \cdot 10^3 \text{ м}$

Найти:

Длина вектора полного перемещения: $|\vec{MK}|$

Решение:

Начертите векторы, изображающие полет самолета сначала на 400 км на восток от города M до N, а потом на 300 км на юг от города N до K.

Представим город M как начало координат $(0,0)$. Направление на восток соответствует положительному направлению оси X, а направление на юг – отрицательному направлению оси Y.

Вектор первого перемещения $\vec{MN}$ начинается в точке M и заканчивается в точке N. Поскольку перемещение на 400 км на восток, координаты точки N будут $(400, 0)$ относительно M. Графически это горизонтальная стрелка, идущая вправо от M.

Вектор второго перемещения $\vec{NK}$ начинается в точке N и заканчивается в точке K. Поскольку перемещение на 300 км на юг, точка K будет находиться на 300 км ниже точки N. Координаты точки K будут $(400, -300)$ относительно M. Графически это вертикальная стрелка, идущая вниз от N.

Ответ: Векторы описаны выше.

Постройте вектор $\vec{MK}$, изображающий перемещение из начальной точки полета в конечную.

Вектор $\vec{MK}$ представляет собой суммарное перемещение из начальной точки полета (M) в конечную точку (K). Он равен векторной сумме $\vec{MN}$ и $\vec{NK}$ по правилу треугольника: $\vec{MK} = \vec{MN} + \vec{NK}$.

Графически вектор $\vec{MK}$ это стрелка, проведенная непосредственно от точки M к точке K.

Ответ: Вектор $\vec{MK}$ соединяет точки M и K.

Найдите длину вектора $\vec{MK}$.

Так как перемещение на восток и перемещение на юг перпендикулярны друг другу, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{NK}$ образуют катеты прямоугольного треугольника. Вектор $\vec{MK}$ является гипотенузой этого треугольника. Длину гипотенузы можно найти, используя теорему Пифагора:

$|\vec{MK}|^2 = |\vec{MN}|^2 + |\vec{NK}|^2$

Подставим заданные значения:

$|\vec{MK}|^2 = (400 \text{ км})^2 + (300 \text{ км})^2$

$|\vec{MK}|^2 = 160000 \text{ км}^2 + 90000 \text{ км}^2$

$|\vec{MK}|^2 = 250000 \text{ км}^2$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину вектора:

$|\vec{MK}| = \sqrt{250000 \text{ км}^2}$

$|\vec{MK}| = 500 \text{ км}$

Ответ: Длина вектора $\vec{MK}$ составляет 500 км.