Страница 21 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Что называется вектором? Назовите начало и конец вектора $ \vec{CD} $.

2. Какой вектор называется нулевым?

3. Что называется длиной вектора? Чему равна длина нулевого вектора?

4. Какие векторы называются коллинеарными, одинаково направленными, противоположно направленными?

5. Дайте определение равных векторов.

6. Сформулируйте и докажите теорему об откладывании вектора от точки.

1. Что называется вектором? Назовите начало и конец вектора $\vec{CD}$.

Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом. Для вектора $\vec{CD}$ точкой начала является $C$, а точкой конца — $D$.

Ответ:

2. Какой вектор называется нулевым?

Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, а направление не определено.

Ответ:

3. Что называется длиной вектора? Чему равна длина нулевого вектора?

Длиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего этот вектор. Длина вектора $\vec{AB}$ обозначается как $|\vec{AB}|$ или $AB$. Длина нулевого вектора равна нулю.

Ответ:

4. Какие векторы называются коллинеарными, одинаково направленными, противоположно направленными?

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два ненулевых коллинеарных вектора называются одинаково направленными, если они направлены в одну сторону. Это обозначается символом $\uparrow\uparrow$, например $\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}$.

Два ненулевых коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если они направлены в разные стороны. Это обозначается символом $\uparrow\downarrow$, например $\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}$.

Ответ:

5. Дайте определение равных векторов.

Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины. Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, то пишут $\vec{a} = \vec{b}$.

Ответ:

6. Сформулируйте и докажите теорему об откладывании вектора от точки.

Теорема: От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Доказательство:

Пусть дан вектор $\vec{a}$ и точка $A$. Требуется отложить от точки $A$ вектор $\vec{AB}$, равный вектору $\vec{a}$.

1. Существование: Пусть вектор $\vec{a}$ представлен как $\vec{MN}$.

а) Если точка $M$ совпадает с точкой $A$, то точка $B$ совпадает с точкой $N$, и вектор $\vec{AN}$ является искомым вектором $\vec{AB}$.

б) Если точка $M$ не совпадает с точкой $A$:

Если точки $A, M, N$ не лежат на одной прямой, то построим параллелограмм $AMNB$. В этом параллелограмме по свойству противоположных сторон, отрезки $AB$ и $MN$ равны по длине, и прямые $AB$ и $MN$ параллельны. Направление вектора $\vec{AB}$ совпадает с направлением вектора $\vec{MN}$. Следовательно, вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{MN}$, то есть $\vec{AB} = \vec{a}$.

Если точки $A, M, N$ лежат на одной прямой, то на этой прямой от точки $A$ отложим отрезок $AB$, длина которого равна длине отрезка $MN$, и направление от $A$ к $B$ совпадает с направлением от $M$ к $N$. Такой отрезок всегда можно построить, и вектор $\vec{AB}$ будет равен $\vec{MN}$.

Таким образом, всегда существует вектор $\vec{AB}$, равный данному вектору $\vec{a}$, отложенный от точки $A$.

2. Единственность: Предположим, что существуют два вектора $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, отложенные от точки $A$ и равные вектору $\vec{a}$.

По определению равенства векторов, если $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AC} = \vec{a}$, то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ должны быть одинаково направлены и иметь одинаковую длину. Поскольку оба вектора начинаются в одной точке $A$ и имеют одно и то же направление и одну и ту же длину, то их конечные точки $B$ и $C$ должны совпадать. Следовательно, $B = C$, и векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ являются одним и тем же вектором.

Таким образом, от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Ответ:

30. Начертите векторы, изображающие полет самолета сначала на 400 км на восток от города M до N, а потом на 300 км на юг от города N до K. Постройте вектор $ \overrightarrow{MK} $, изображающий перемещение из начальной точки полета в конечную. Найдите длину вектора $ \overrightarrow{MK} $.

Дано:

Длина первого перемещения (от M до N на восток): $S_1 = |\vec{MN}| = 400 \text{ км}$

Длина второго перемещения (от N до K на юг): $S_2 = |\vec{NK}| = 300 \text{ км}$

Перевод в СИ:

$S_1 = 400 \text{ км} = 400 \cdot 10^3 \text{ м}$

$S_2 = 300 \text{ км} = 300 \cdot 10^3 \text{ м}$

Найти:

Длина вектора полного перемещения: $|\vec{MK}|$

Решение:

Начертите векторы, изображающие полет самолета сначала на 400 км на восток от города M до N, а потом на 300 км на юг от города N до K.

Представим город M как начало координат $(0,0)$. Направление на восток соответствует положительному направлению оси X, а направление на юг – отрицательному направлению оси Y.

Вектор первого перемещения $\vec{MN}$ начинается в точке M и заканчивается в точке N. Поскольку перемещение на 400 км на восток, координаты точки N будут $(400, 0)$ относительно M. Графически это горизонтальная стрелка, идущая вправо от M.

Вектор второго перемещения $\vec{NK}$ начинается в точке N и заканчивается в точке K. Поскольку перемещение на 300 км на юг, точка K будет находиться на 300 км ниже точки N. Координаты точки K будут $(400, -300)$ относительно M. Графически это вертикальная стрелка, идущая вниз от N.

Ответ: Векторы описаны выше.

Постройте вектор $\vec{MK}$, изображающий перемещение из начальной точки полета в конечную.

Вектор $\vec{MK}$ представляет собой суммарное перемещение из начальной точки полета (M) в конечную точку (K). Он равен векторной сумме $\vec{MN}$ и $\vec{NK}$ по правилу треугольника: $\vec{MK} = \vec{MN} + \vec{NK}$.

Графически вектор $\vec{MK}$ это стрелка, проведенная непосредственно от точки M к точке K.

Ответ: Вектор $\vec{MK}$ соединяет точки M и K.

Найдите длину вектора $\vec{MK}$.

Так как перемещение на восток и перемещение на юг перпендикулярны друг другу, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{NK}$ образуют катеты прямоугольного треугольника. Вектор $\vec{MK}$ является гипотенузой этого треугольника. Длину гипотенузы можно найти, используя теорему Пифагора:

$|\vec{MK}|^2 = |\vec{MN}|^2 + |\vec{NK}|^2$

Подставим заданные значения:

$|\vec{MK}|^2 = (400 \text{ км})^2 + (300 \text{ км})^2$

$|\vec{MK}|^2 = 160000 \text{ км}^2 + 90000 \text{ км}^2$

$|\vec{MK}|^2 = 250000 \text{ км}^2$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину вектора:

$|\vec{MK}| = \sqrt{250000 \text{ км}^2}$

$|\vec{MK}| = 500 \text{ км}$

Ответ: Длина вектора $\vec{MK}$ составляет 500 км.

31. Постройте три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ так, чтобы $|\vec{a}| = 2$ см, $|\vec{b}| = 3,5$ см, $|\vec{c}| = 5$ см, если:

a) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ коллинеарные векторы;

б) $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарные, а $\vec{a}$ и $\vec{c}$ неколлинеарные векторы.

Дано:

Длины векторов: $|\vec{a}| = 2 \text{ см}$, $|\vec{b}| = 3,5 \text{ см}$, $|\vec{c}| = 5 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$|\vec{a}| = 0,02 \text{ м}$

$|\vec{b}| = 0,035 \text{ м}$

$|\vec{c}| = 0,05 \text{ м}$

Найти:

Построить векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ в двух случаях:

• а) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ коллинеарные векторы.
• б) $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарные, а $\vec{a}$ и $\vec{c}$ неколлинеарные векторы.

Решение:

а) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ коллинеарные векторы

Для построения трех коллинеарных векторов с заданными длинами, выполните следующие шаги:

1. Проведите произвольную прямую линию на плоскости. Эта линия будет содержать все три вектора.

2. Выберите на этой прямой любую точку, которую обозначим как начало координат (например, точку О).

3. Из точки О отложите вектор $\vec{a}$ длиной $2 \text{ см}$ вдоль прямой. Направление может быть произвольным (например, вправо).

4. Из точки О отложите вектор $\vec{b}$ длиной $3,5 \text{ см}$ вдоль той же прямой. Он может быть направлен в ту же сторону, что и $\vec{a}$, или в противоположную. Для простоты можно выбрать то же направление.

5. Из точки О отложите вектор $\vec{c}$ длиной $5 \text{ см}$ вдоль той же прямой. Он также может быть направлен в ту же сторону, что и $\vec{a}$ и $\vec{b}$, или в противоположную. Для простоты можно выбрать то же направление.

Важно, что все три вектора лежат на одной прямой (или параллельных прямых), что делает их коллинеарными. Если они начинаются из одной точки, они лежат на одной прямой.

Ответ: Построены векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ на одной прямой с заданными длинами.

б) $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарные, а $\vec{a}$ и $\vec{c}$ неколлинеарные векторы

Для построения векторов с заданными условиями, выполните следующие шаги:

1. Проведите произвольную прямую линию на плоскости.

2. Выберите на этой прямой любую точку, которую обозначим как начало координат (например, точку О).

3. Из точки О отложите вектор $\vec{a}$ длиной $2 \text{ см}$ вдоль проведенной прямой (например, вправо).

4. Из точки О отложите вектор $\vec{b}$ длиной $3,5 \text{ см}$ вдоль той же прямой. Он может быть направлен в ту же сторону, что и $\vec{a}$, или в противоположную. Эти два вектора ($\vec{a}$ и $\vec{b}$) являются коллинеарными.

5. Из точки О отложите вектор $\vec{c}$ длиной $5 \text{ см}$ таким образом, чтобы он не лежал на той же прямой, что и векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Для этого проведите вектор $\vec{c}$ под любым углом, отличным от $0^\circ$ или $180^\circ$, к прямой, на которой лежат $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Например, под углом $45^\circ$ или $90^\circ$ относительно прямой, содержащей $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Таким образом, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ будут коллинеарны, а вектор $\vec{c}$ будет неколлинеарен им.

Ответ: Построены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на одной прямой, и вектор $\vec{c}$ под углом к этой прямой, с заданными длинами.

32. Постройте два вектора, имеющих равные длины, если они:

а) неколлинеарные;

б) одинаково направленные;

в) противоположно направленные.

В каком случае построенные векторы равны?

Чтобы два вектора были равны, они должны удовлетворять двум условиям: иметь равные длины (модули) и быть одинаково направленными. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, векторы не равны.

а) неколлинеарные

Построим два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с равными длинами, например, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = L$, но таким образом, чтобы они не лежали на одной прямой и не были параллельны. Например, вектор $\vec{a}$ может быть направлен вдоль оси X, а вектор $\vec{b}$ - вдоль оси Y. Если их длины равны, скажем, $L=5$, то $\vec{a} = (5, 0)$ и $\vec{b} = (0, 5)$.

В этом случае, хотя длины векторов равны, их направления различны. По определению равенства векторов, они не равны, так как для равенства необходимо совпадение как длины, так и направления.

Ответ: Векторы не равны.

б) одинаково направленные

Построим два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с равными длинами, например, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = L$, и таким образом, чтобы они были одинаково направлены. Это означает, что их направления совпадают. Например, если $\vec{a}$ - это вектор из точки $(0,0)$ в точку $(3,4)$, то $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$. Вектор $\vec{b}$ может быть таким же вектором из точки $(0,0)$ в точку $(3,4)$, или, например, вектором из точки $(1,1)$ в точку $(4,5)$. В обоих случаях их направление и длина совпадают.

В этом случае, поскольку длины векторов равны и их направления совпадают, по определению равенства векторов, эти векторы равны.

Ответ: Векторы равны.

в) противоположно направленные

Построим два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с равными длинами, например, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = L$, но таким образом, чтобы они были противоположно направлены. Это означает, что они лежат на одной прямой (или параллельных прямых), но их стрелки смотрят в противоположные стороны. Например, если $\vec{a}$ - это вектор из точки $(0,0)$ в точку $(5,0)$, то $\vec{b}$ - это вектор из точки $(0,0)$ в точку $(-5,0)$. Длины их равны ($|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 5$), но направления противоположны.

В этом случае, хотя длины векторов равны, их направления различны (они противоположны). Следовательно, по определению равенства векторов, эти векторы не равны. Вектор $\vec{b}$ является отрицательным к вектору $\vec{a}$, то есть $\vec{b} = -\vec{a}$.

Ответ: Векторы не равны.

Построенные векторы равны только в случае, когда они **одинаково направленные** и имеют равные длины.

33. Верно ли утверждение:

а) если $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны;

б) если $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$, то $\vec{a} = \vec{b}$;

в) если $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$;

г) если $\vec{a} = \vec{0}$, то $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$?

а) если $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны
Дано: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Найти: Верно ли утверждение: если $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.
Решение: По определению, два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление. Векторы, имеющие одинаковое направление, по определению являются коллинеарными (они лежат на одной прямой или на параллельных прямых). Следовательно, если $\vec{a} = \vec{b}$, то они имеют одинаковое направление, а значит, являются коллинеарными.
Ответ: Утверждение верно.

б) если $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$, то $\vec{a} = \vec{b}$
Дано: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Найти: Верно ли утверждение: если $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$, то $\vec{a} = \vec{b}$.
Решение: Обозначение $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$ означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, то есть они коллинеарны и имеют одинаковое направление. Однако, для равенства векторов $\vec{a} = \vec{b}$ необходимо, чтобы они имели не только одинаковое направление, но и одинаковую длину. Например, вектор длиной $2$ и вектор длиной $5$ могут быть сонаправлены, но они не равны. Таким образом, из сонаправленности векторов не следует их равенство.
Ответ: Утверждение неверно.

в) если $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$
Дано: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Найти: Верно ли утверждение: если $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.
Решение: Обозначение $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$ означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. По определению, равные векторы $\vec{a} = \vec{b}$ имеют одинаковое направление. Векторы не могут одновременно иметь одинаковое и противоположное направление (если только они не нулевые векторы, но даже в этом случае понятие "противоположно направлены" теряет смысл). Следовательно, из равенства векторов не следует их противоположная направленность.
Ответ: Утверждение неверно.

г) если $\vec{a} = \vec{0}$, то $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$?
Дано: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Найти: Верно ли утверждение: если $\vec{a} = \vec{0}$, то $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.
Решение: Нулевой вектор $\vec{0}$ — это вектор, длина которого равна нулю. Он не имеет определенного направления, хотя он считается коллинеарным с любым вектором. Понятие "противоположно направленный" (как и "сонаправленный") применяется к ненулевым векторам, которые имеют четко выраженное направление. Поскольку нулевой вектор не имеет направления, он не может быть противоположно направлен к какому-либо другому вектору (если $\vec{b}$ не является нулевым вектором).
Ответ: Утверждение неверно.