Страница 22 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

уровень В

34. Верно ли, что если $\vec{AB} = \vec{CD}$, то $\vec{AC} = \vec{BD}$? Рассмотрите все возможные случаи.

Дано

Условие: $\vec{AB} = \vec{CD}$

Утверждение для проверки: $\vec{AC} = \vec{BD}$

Найти

Верно ли, что если $\vec{AB} = \vec{CD}$, то $\vec{AC} = \vec{BD}$? Рассмотреть все возможные случаи.

Решение

Для решения задачи воспользуемся свойством векторов, которое позволяет выразить вектор, соединяющий две точки, через их радиус-векторы, исходящие из произвольного начала координат O. Если $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D}$ являются радиус-векторами точек A, B, C, D соответственно, то любой вектор $\vec{XY}$ можно записать как разность радиус-векторов конечной и начальной точки: $\vec{XY} = \vec{Y} - \vec{X}$.

Запишем данное условие $\vec{AB} = \vec{CD}$ в терминах радиус-векторов:

$\vec{B} - \vec{A} = \vec{D} - \vec{C}$

Теперь рассмотрим утверждение, которое необходимо проверить: $\vec{AC} = \vec{BD}$. В терминах радиус-векторов это выглядит как:

$\vec{C} - \vec{A} = \vec{D} - \vec{B}$

Чтобы проверить, следует ли второе равенство из первого, преобразуем данное условие $\vec{B} - \vec{A} = \vec{D} - \vec{C}$.

1. Прибавим вектор $\vec{C}$ к обеим частям равенства:

$\vec{B} - \vec{A} + \vec{C} = \vec{D}$

2. Вычтем вектор $\vec{B}$ из обеих частей равенства:

$-\vec{A} + \vec{C} = \vec{D} - \vec{B}$

3. Переставим слагаемые в левой части для удобства:

$\vec{C} - \vec{A} = \vec{D} - \vec{B}$

Это равенство в точности соответствует утверждению $\vec{AC} = \vec{BD}$. Поскольку выполненные преобразования являются эквивалентными, то исходное условие $\vec{AB} = \vec{CD}$ всегда влечет за собой $\vec{AC} = \vec{BD}$.

Рассмотрите все возможные случаи.

Полученное аналитическое доказательство, основанное на свойствах векторной алгебры, является универсальным и не зависит от конкретного расположения точек в пространстве (в одномерном, двухмерном или трехмерном). Однако, для полноты ответа, рассмотрим различные геометрические конфигурации точек.

Случай 1: Точки A, B, C, D не коллинеарны и не совпадают.

Если $\vec{AB} = \vec{CD}$ и точки не коллинеарны, это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ имеют одинаковую длину, параллельны и сонаправлены. Это является одним из определений параллелограмма. Следовательно, четырехугольник ABDC является параллелограммом (сторона AB параллельна и равна стороне CD). В параллелограмме ABDC противоположные стороны $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ также равны и параллельны, то есть $\vec{AC} = \vec{BD}$. Таким образом, утверждение верно.

Ответ:

Случай 2: Точки A, B, C, D коллинеарны (лежат на одной прямой).

В этом случае все векторы $\vec{AB}, \vec{CD}, \vec{AC}, \vec{BD}$ направлены вдоль одной прямой. Вышеприведенное аналитическое доказательство полностью применимо, так как оно основано на базовых свойствах векторной алгебры, которые действуют и для одномерных векторов. Например, если считать, что точки расположены на числовой оси, и их координаты $x_A, x_B, x_C, x_D$, то векторы соответствуют разностям координат: $\vec{AB} \leftrightarrow (x_B - x_A)$, $\vec{CD} \leftrightarrow (x_D - x_C)$, $\vec{AC} \leftrightarrow (x_C - x_A)$, $\vec{BD} \leftrightarrow (x_D - x_B)$. Условие $(x_B - x_A) = (x_D - x_C)$ легко преобразуется в $(x_C - x_A) = (x_D - x_B)$ путем перестановки слагаемых. Таким образом, утверждение верно и для коллинеарных точек.

Ответ:

Случай 3: Некоторые или все точки совпадают.

Универсальность векторной алгебры позволяет применять доказанное тождество даже в случаях, когда некоторые или все точки совпадают. Например, если точка A совпадает с точкой B (A=B), то $\vec{AB} = \vec{0}$ (нулевой вектор). Из исходного условия $\vec{CD} = \vec{0}$, что означает, что точка C совпадает с точкой D (C=D). В этом случае утверждение $\vec{AC} = \vec{BD}$ превращается в $\vec{AC} = \vec{BC}$. Но так как A=B, то $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ являются одним и тем же вектором. То есть $\vec{AC} = \vec{AC}$, что является тождеством, которое всегда верно. Аналогично, любые другие комбинации совпадающих точек (например, A=D или B=C) также не нарушают векторного тождества, поскольку алгебраические преобразования остаются в силе. Таким образом, утверждение верно и в этом случае.

Ответ:

Обобщая, утверждение $\vec{AC} = \vec{BD}$ всегда является следствием условия $\vec{AB} = \vec{CD}$ во всех возможных случаях, поскольку это следует из базовых аксиом векторной алгебры.

Ответ: Да, верно.

35. В треугольнике ABC $\angle C=90^\circ$, $AC=12 \text{ см}$, $CB=5 \text{ см}$, точки M и N – середины сторон AB и AC соответственно. Найдите длины векторов:

а) $\vec{AB}$

б) $\vec{CM}$

в) $\vec{MN}$.

Дано:

Треугольник $ABC$, $\angle C = 90^\circ$.

Длина стороны $AC = 12$ см.

Длина стороны $CB = 5$ см.

Точка $M$ – середина стороны $AB$.

Точка $N$ – середина стороны $AC$.

Перевод в систему СИ:

$AC = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$CB = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Длины векторов: а) $|\vec{AB}|$; б) $|\vec{CM}|$; в) $|\vec{MN}|$.

Решение:

Поместим вершину $C$ в начало координат $(0,0)$. Поскольку $\angle C = 90^\circ$, стороны $AC$ и $CB$ лежат на осях координат. Пусть $C=(0,0)$, $A=(0,12)$, $B=(5,0)$.

а) $\vec{AB}$

Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине стороны $AB$ треугольника $ABC$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + CB^2$

$AB^2 = 12^2 + 5^2$

$AB^2 = 144 + 25$

$AB^2 = 169$

$AB = \sqrt{169}$

$AB = 13$ см.

Таким образом, длина вектора $\vec{AB}$ составляет $13$ см.

Ответ: $13$ см

б) $\vec{CM}$

Точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$. В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.

$CM = \frac{1}{2} AB$

$CM = \frac{1}{2} \cdot 13$

$CM = 6.5$ см.

Альтернативный метод с использованием координат:

Координаты точки $A$ – $(0,12)$, точки $B$ – $(5,0)$.

Координаты середины $M$ отрезка $AB$: $M = \left( \frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2} \right) = \left( \frac{0+5}{2}, \frac{12+0}{2} \right) = \left( 2.5, 6 \right)$.

Вектор $\vec{CM}$ имеет координаты $(x_M - x_C, y_M - y_C) = (2.5 - 0, 6 - 0) = (2.5, 6)$.

Длина вектора $\vec{CM}$ вычисляется как $|\vec{CM}| = \sqrt{(2.5)^2 + 6^2} = \sqrt{6.25 + 36} = \sqrt{42.25} = 6.5$ см.

Таким образом, длина вектора $\vec{CM}$ составляет $6.5$ см.

Ответ: $6.5$ см

в) $\vec{MN}$

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является средней линией треугольника.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. В данном случае, $MN$ – средняя линия треугольника $ABC$, соединяющая середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $MN$ параллельна стороне $CB$ и равна ее половине.

$MN = \frac{1}{2} CB$

$MN = \frac{1}{2} \cdot 5$

$MN = 2.5$ см.

Альтернативный метод с использованием координат:

Координаты точки $M$ – $(2.5, 6)$ (из предыдущего пункта).

Координаты точки $A$ – $(0,12)$, точки $C$ – $(0,0)$.

Координаты середины $N$ отрезка $AC$: $N = \left( \frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2} \right) = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{12+0}{2} \right) = \left( 0, 6 \right)$.

Вектор $\vec{MN}$ имеет координаты $(x_N - x_M, y_N - y_M) = (0 - 2.5, 6 - 6) = (-2.5, 0)$.

Длина вектора $\vec{MN}$ вычисляется как $|\vec{MN}| = \sqrt{(-2.5)^2 + 0^2} = \sqrt{6.25} = 2.5$ см.

Таким образом, длина вектора $\vec{MN}$ составляет $2.5$ см.

Ответ: $2.5$ см

36. В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Найдите длины векторов $\vec{AD}$ и $\vec{CD}$, если $AB = 6$ см, $BC = 10$ см, $AC = 12$ см.

Дано:

Треугольник $ABC$.

$BD$ — биссектриса угла $B$.

$AB = 6$ см

$BC = 10$ см

$AC = 12$ см

Перевод в СИ:

$AB = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$BC = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

$AC = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Длины векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{CD}$.

Решение:

По теореме о биссектрисе угла треугольника, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае, биссектриса $BD$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $CD$ таким образом, что отношение длин этих отрезков равно отношению длин сторон $AB$ и $BC$.

Это выражается формулой: $\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BC}$.

Пусть длина отрезка $AD$ равна $x$. Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $AC$, длина отрезка $CD$ будет равна $AC - AD = 12 - x$.

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{x}{12 - x} = \frac{6}{10}$

Упростим правую часть дроби:

$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{x}{12 - x} = \frac{3}{5}$

Для решения этого уравнения используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$5x = 3(12 - x)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$5x = 36 - 3x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть уравнения:

$5x + 3x = 36$

$8x = 36$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{36}{8}$

$x = \frac{9}{2}$

$x = 4.5$

Таким образом, длина отрезка $AD$ (что соответствует длине вектора $\overrightarrow{AD}$) равна $4.5$ см.

Теперь найдем длину отрезка $CD$ (что соответствует длине вектора $\overrightarrow{CD}$):

$CD = AC - AD = 12 - 4.5$

$CD = 7.5$ см

Ответ:

Длина вектора $\overrightarrow{AD}$ равна $4.5$ см, длина вектора $\overrightarrow{CD}$ равна $7.5$ см.

37. Докажите, что если $\vec{a} = \vec{c}$ и $\vec{b} = \vec{c}$, то $\vec{a} = \vec{b}$.

Решение

Дано, что вектор $\vec{a}$ равен вектору $\vec{c}$: $\$ \vec{a} = \vec{c} \$$.

Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ имеют одинаковую длину и одинаковое направление. По сути, они являются одним и тем же вектором.

Также дано, что вектор $\vec{b}$ равен вектору $\vec{c}$: $\$ \vec{b} = \vec{c} \$$.

Это означает, что векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ также имеют одинаковую длину и одинаковое направление. То есть, они также являются одним и тем же вектором.

Исходя из определения равенства векторов и транзитивности отношения равенства, если $\$ \vec{a} \$ $ равно $\$ \vec{c} \$ $ и $\$ \vec{b} \$ $ равно $\$ \vec{c} \$ $, то $\$ \vec{a} \$ $ должно быть равно $\$ \vec{b} \$ $. Это следует из основного свойства равенства: если две величины равны одной и той же третьей величине, то они равны между собой.

Таким образом, из $\$ \vec{a} = \vec{c} \$ $ и $\$ \vec{b} = \vec{c} \$ $ следует $\$ \vec{a} = \vec{b} \$ $.

Ответ: Доказано. Если $\$ \vec{a} = \vec{c} \$ $ и $\$ \vec{b} = \vec{c} \$ $, то по транзитивности равенства следует, что $\$ \vec{a} = \vec{b} \$ $.

38. Вершины шестиугольника $ABCDEF$ лежат на окружности с центром $O$. Известно, что $AB = BC = CD = DE = EF = FA = AO$.

а) Докажите, что $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AF}$.

б) Равны ли векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{ED}$?

Дано:

Шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность с центром $O$.

Длины отрезков связаны соотношением: $AB = BC = CD = DE = EF = FA = AO$.

Найти:

а) Доказать равенство векторов: $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AF}$.

б) Ответить, равны ли векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{ED}$.

Решение

Исходя из условия $AB = BC = CD = DE = EF = FA = AO$, и зная, что $AO$ является радиусом ($R$) описанной окружности, мы можем заключить, что все стороны шестиугольника равны радиусу описанной окружности. Это является определяющим свойством правильного шестиугольника. Следовательно, $ABCDEF$ является правильным шестиугольником.

а) Докажите, что $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AF}$

Для доказательства равенства векторов необходимо показать, что они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.

Поскольку $ABCDEF$ является правильным шестиугольником, вписанным в окружность с центром $O$ и радиусом $R$, все его стороны равны радиусу $R$: $|AB| = |BC| = |CD| = |DE| = |EF| = |FA| = R$. Также, отрезки, соединяющие центр с вершинами, являются радиусами: $|OA| = |OB| = |OC| = |OD| = |OE| = |OF| = R$.

Таким образом, модули всех трех векторов равны $R$:

$|\overrightarrow{CD}| = CD = R$

$|\overrightarrow{BO}| = BO = R$

$|\overrightarrow{AF}| = AF = R$

Теперь докажем равенство их направлений.

Рассмотрим свойства правильного шестиугольника:

1. Треугольники, образованные двумя радиусами и стороной (например, $\Delta OAB, \Delta OBC, \dots, \Delta OFA$), являются равносторонними, так как все их стороны равны $R$. Следовательно, все центральные углы равны $60^\circ$.

2. Противоположные стороны правильного шестиугольника параллельны и равны по длине. Например, $AB \parallel DE$, $BC \parallel EF$, $CD \parallel FA$. Векторы, направленные вдоль противоположных сторон в одном направлении обхода вершин, будут противоположны. То есть, $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{FA}$ являются противоположными векторами, поэтому $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{FA}$.

Мы знаем, что вектор $\overrightarrow{AF}$ является вектором, противоположным вектору $\overrightarrow{FA}$ (т.е., $\overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{FA}$).

Подставляя это в равенство $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{FA}$, получаем:

$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AF}$ (1)

Теперь докажем, что $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BO}$.

Рассмотрим четырехугольник $OBCD$. Его стороны $OB, BC, CD, DO$ равны радиусу $R$:

$OB = R$ (радиус)

$BC = R$ (сторона шестиугольника)

$CD = R$ (сторона шестиугольника)

$DO = R$ (радиус)

Поскольку все стороны четырехугольника $OBCD$ равны, он является ромбом.

В ромбе противоположные стороны параллельны и равны по длине. В частности, сторона $OB$ параллельна стороне $DC$, и векторы $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{DC}$ направлены одинаково. Следовательно, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DC}$.

Мы знаем, что $\overrightarrow{DC}$ является вектором, противоположным вектору $\overrightarrow{CD}$, то есть $\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}$.

Подставляя это в равенство $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DC}$, получаем $\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{CD}$.

Вектор $\overrightarrow{BO}$ является вектором, противоположным вектору $\overrightarrow{OB}$, то есть $\overrightarrow{BO} = -\overrightarrow{OB}$.

Тогда $\overrightarrow{BO} = -(-\overrightarrow{CD}) = \overrightarrow{CD}$. (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AF}$.

Ответ: $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AF}$ доказано.

б) Равны ли векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{ED}$?

Векторы считаются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.

Длины векторов:

$|\overrightarrow{BC}| = BC = R$

$|\overrightarrow{ED}| = ED = R$

Длины векторов равны. Теперь проверим их направления.

Расположим центр окружности $O$ в начале координат $(0,0)$. Пусть радиус окружности равен $R$. Координаты вершин правильного шестиугольника (в порядке против часовой стрелки, начиная с $A=(R,0)$) будут:

$A = (R, 0)$

$B = (R\cos 60^\circ, R\sin 60^\circ) = (R/2, R\sqrt{3}/2)$

$C = (R\cos 120^\circ, R\sin 120^\circ) = (-R/2, R\sqrt{3}/2)$

$D = (R\cos 180^\circ, R\sin 180^\circ) = (-R, 0)$

$E = (R\cos 240^\circ, R\sin 240^\circ) = (-R/2, -R\sqrt{3}/2)$

$F = (R\cos 300^\circ, R\sin 300^\circ) = (R/2, -R\sqrt{3}/2)$

Вычислим координаты вектора $\overrightarrow{BC}$:

$\overrightarrow{BC} = C - B = (-R/2 - R/2, R\sqrt{3}/2 - R\sqrt{3}/2) = (-R, 0)$

Вычислим координаты вектора $\overrightarrow{ED}$:

$\overrightarrow{ED} = D - E = (-R - (-R/2), 0 - (-R\sqrt{3}/2)) = (-R/2, R\sqrt{3}/2)$

Поскольку компоненты векторов $\overrightarrow{BC} = (-R, 0)$ и $\overrightarrow{ED} = (-R/2, R\sqrt{3}/2)$ не совпадают, эти векторы не равны. Они имеют одинаковую длину, но разное направление.

Ответ: Нет, векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{ED}$ не равны.

39. Равны ли векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A_1B_1}$, если точки A и A_1, B и B_1 симметричны относительно некоторой произвольной:

а) точки;

б) прямой?

а) точки;

Пусть дана произвольная точка $O$, относительно которой симметричны точки $A$ и $A_1$, а также $B$ и $B_1$.

Симметрия относительно точки (центральная симметрия) определяется таким образом, что точка $O$ является серединой отрезка, соединяющего любую точку $P$ с ее симметричным образом $P_1$. Это означает, что для любой точки $P$ и ее образа $P_1$ справедливо векторное соотношение $\vec{OP_1} = -\vec{OP}$.

Применяя это определение к нашим точкам:

• $\vec{OA_1} = -\vec{OA}$
• $\vec{OB_1} = -\vec{OB}$

Вектор $\vec{AB}$ может быть выражен как $\vec{OB} - \vec{OA}$.

Вектор $\vec{A_1B_1}$ может быть выражен как $\vec{OB_1} - \vec{OA_1}$.

Подставим выражения для $\vec{OA_1}$ и $\vec{OB_1}$:

$\vec{A_1B_1} = (-\vec{OB}) - (-\vec{OA})$

$\vec{A_1B_1} = \vec{OA} - \vec{OB}$

Таким образом, $\vec{A_1B_1} = -(\vec{OB} - \vec{OA})$, что означает $\vec{A_1B_1} = -\vec{AB}$.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление. В данном случае векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A_1B_1}$ имеют одинаковые модули, но противоположные направления (за исключением тривиального случая, когда $A=B$ и оба вектора являются нулевыми).

Следовательно, в общем случае векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A_1B_1}$ не равны.

Ответ: Нет

б) прямой?

Пусть дана произвольная прямая $L$, относительно которой симметричны точки $A$ и $A_1$, а также $B$ и $B_1$.

Симметрия относительно прямой (осевая симметрия) является изометрическим преобразованием, что означает, что она сохраняет расстояния между точками. Следовательно, длины векторов сохраняются: $|\vec{A_1B_1}| = |\vec{AB}|$.

Однако, направление вектора, как правило, изменяется при осевой симметрии. Рассмотрим координатную плоскость и пусть ось симметрии $L$ совпадает с осью $x$.

Если точка $P=(x, y)$, то ее симметричный образ $P_1$ относительно оси $x$ будет $P_1=(x, -y)$.

Пусть $A=(x_A, y_A)$ и $B=(x_B, y_B)$. Тогда их симметричные образы $A_1=(x_A, -y_A)$ и $B_1=(x_B, -y_B)$.

Вектор $\vec{AB}$ имеет компоненты: $(x_B - x_A, y_B - y_A)$.

Вектор $\vec{A_1B_1}$ имеет компоненты: $(x_{B_1} - x_{A_1}, y_{B_1} - y_{A_1}) = (x_B - x_A, (-y_B) - (-y_A)) = (x_B - x_A, y_A - y_B)$.

Для того чтобы векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A_1B_1}$ были равны, их соответствующие компоненты должны быть равны:

• $x_B - x_A = x_B - x_A$ (это всегда выполняется)
• $y_B - y_A = y_A - y_B$

Из второго уравнения: $y_B - y_A = y_A - y_B \implies 2y_B = 2y_A \implies y_B = y_A$.

Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A_1B_1}$ будут равны только в том случае, если точки $A$ и $B$ имеют одинаковую координату $y$, то есть отрезок $AB$ параллелен оси симметрии $L$ (или лежит на ней). В любом другом случае (когда $y_A \ne y_B$), векторы не будут равны.

Поскольку вопрос спрашивает, равны ли векторы в общем случае (для произвольных точек и произвольной прямой), и существуют случаи, когда они не равны, общий ответ — "Нет".

Ответ: Нет

40. Откладываются равные векторы от каждой точки:

а) отрезка;

б) треугольника. Какую фигуру образуют концы всех этих векторов?

При откладывании равных векторов от каждой точки заданной фигуры происходит геометрическое преобразование, называемое параллельным переносом (трансляцией). Параллельный перенос определяется одним вектором $\vec{v}$ и для каждой точки $P$ фигуры отображает ее в новую точку $P'$ такую, что $\vec{PP'} = \vec{v}$. Иначе говоря, радиус-вектор новой точки $P'$ получается как сумма радиус-вектора исходной точки $P$ и вектора переноса $\vec{v}$: $\vec{r_{P'}} = \vec{r_P} + \vec{v}$. Важной особенностью параллельного переноса является то, что он сохраняет форму, размер и ориентацию фигуры. Это означает, что образ фигуры при таком преобразовании будет конгруэнтен (равен) исходной фигуре.

а) отрезка

Если от каждой точки отрезка отложить равные векторы, то каждая точка $P$ этого отрезка будет смещена на один и тот же вектор $\vec{v}$. Множество всех таких смещенных точек $P'$ образует новую фигуру, которая является образом исходного отрезка при параллельном переносе. Поскольку параллельный перенос сохраняет длину, направление и линейность, то отрезок преобразуется в другой отрезок, который будет параллелен исходному и иметь ту же длину. Концы нового отрезка будут соответствовать концам исходного отрезка, сдвинутым на вектор $\vec{v}$.

Ответ:
Концы всех этих векторов образуют отрезок.

б) треугольника

Если от каждой точки треугольника (включая его стороны и внутреннюю область) отложить равные векторы, то каждая точка $P$ треугольника будет смещена на один и тот же вектор $\vec{v}$. Множество всех таких смещенных точек $P'$ образует новую фигуру, которая является образом исходного треугольника при параллельном переносе. Поскольку параллельный перенос сохраняет форму, размер и ориентацию, то треугольник преобразуется в другой треугольник, который будет конгруэнтен (равен) исходному. Вершины нового треугольника будут соответствовать вершинам исходного, сдвинутым на вектор $\vec{v}$.

Ответ:
Концы всех этих векторов образуют треугольник.

41. В прямоугольной трапеции $ABCD$ большее основание $AD = 14 \text{ см}$, $AB = 6\sqrt{3} \text{ см}$, $\angle D = 60^{\circ}$. Найдите длины векторов:

а) $\vec{CD}$;

б) $\vec{BC}$;

в) $\vec{AC}$.

Дано:

прямоугольная трапеция $ABCD$

большее основание $AD = 14$ см

сторона $AB = 6\sqrt{3}$ см

угол $\angle D = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$AD = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

$AB = 6\sqrt{3} \text{ см} = 0.06\sqrt{3} \text{ м}$

Найти:

а) $|\vec{CD}|$

б) $|\vec{BC}|$

в) $|\vec{AC}|$

Решение:

Построим высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Поскольку трапеция $ABCD$ прямоугольная, то $AB \perp AD$ и $AB \perp BC$. Следовательно, $ABCH$ является прямоугольником. Из этого следует, что $CH = AB = 6\sqrt{3}$ см и $AH = BC$.

а) $\vec{CD}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$.

Угол $\angle D = 60^\circ$.

Высота $CH = AB = 6\sqrt{3}$ см.

Используя определение синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle D) = \frac{CH}{CD}$

$CD = \frac{CH}{\sin(\angle D)}$

Подставим известные значения:

$CD = \frac{6\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)}$

$CD = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$CD = 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$

$CD = 12$ см

Длина вектора $\vec{CD}$ равна длине отрезка $CD$.

Ответ: $|\vec{CD}| = 12 \text{ см}$

б) $\vec{BC}$

В прямоугольном треугольнике $CHD$ найдем длину отрезка $HD$ с помощью косинуса угла $\angle D$:

$\cos(\angle D) = \frac{HD}{CD}$

$HD = CD \cdot \cos(\angle D)$

Подставим известные значения:

$HD = 12 \cdot \cos(60^\circ)$

$HD = 12 \cdot \frac{1}{2}$

$HD = 6$ см

Мы знаем, что $AD = AH + HD$.

Так как $ABCH$ — прямоугольник, $AH = BC$.

Следовательно, $AD = BC + HD$.

Выразим $BC$:

$BC = AD - HD$

$BC = 14 - 6$

$BC = 8$ см

Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине отрезка $BC$.

Ответ: $|\vec{BC}| = 8 \text{ см}$

в) $\vec{AC}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Прямой угол находится при вершине $B$ ($\angle ABC = 90^\circ$), так как $AB$ является высотой трапеции.

Катеты треугольника $ABC$ известны:

$AB = 6\sqrt{3}$ см

$BC = 8$ см (найдено в предыдущем пункте)

Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы $AC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = (6\sqrt{3})^2 + 8^2$

$AC^2 = (36 \cdot 3) + 64$

$AC^2 = 108 + 64$

$AC^2 = 172$

$AC = \sqrt{172}$

$AC = \sqrt{4 \cdot 43}$

$AC = 2\sqrt{43}$ см

Длина вектора $\vec{AC}$ равна длине отрезка $AC$.

Ответ: $|\vec{AC}| = 2\sqrt{43} \text{ см}$

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

При помощи векторов постройте схему маршрута движения автомобилиста, если он проехал 32 км на север, 18 км на восток, 7 км на запад, 11 км на юг и 27 км снова на восток. Найдите расстояние от начальной до конечной точки маршрута. Изменится ли это расстояние, если поменять очередность пройденных участков пути, не меняя их направлений и длин?

Дано

Первый участок пути (север): $d_1 = 32 \text{ км}$

Второй участок пути (восток): $d_2 = 18 \text{ км}$

Третий участок пути (запад): $d_3 = 7 \text{ км}$

Четвертый участок пути (юг): $d_4 = 11 \text{ км}$

Пятый участок пути (восток): $d_5 = 27 \text{ км}$

Перевод в СИ

Все данные представлены в километрах, что является приемлемой единицей измерения расстояния для данной задачи. Перевод в метры не требуется, так как расчеты удобно производить в километрах, и конечный результат будет также в километрах.

Найти

1. Построить схему маршрута движения автомобилиста при помощи векторов.

2. Расстояние от начальной до конечной точки маршрута ($D$).

3. Изменится ли это расстояние, если поменять очередность пройденных участков пути, не меняя их направлений и длин?

Решение

Построение схемы маршрута движения автомобилиста при помощи векторов

Для построения схемы маршрута удобно использовать декартову систему координат. Примем направление на восток за положительное направление оси X, а направление на север — за положительное направление оси Y. Начальная точка движения автомобилиста находится в начале координат $(0, 0)$. Каждый участок пути можно представить как вектор перемещения:

• Первый участок: $32 \text{ км}$ на север. Соответствующий вектор перемещения $\vec{d_1} = (0, 32) \text{ км}$.

• Второй участок: $18 \text{ км}$ на восток. Соответствующий вектор перемещения $\vec{d_2} = (18, 0) \text{ км}$.

• Третий участок: $7 \text{ км}$ на запад. Соответствующий вектор перемещения $\vec{d_3} = (-7, 0) \text{ км}$.

• Четвертый участок: $11 \text{ км}$ на юг. Соответствующий вектор перемещения $\vec{d_4} = (0, -11) \text{ км}$.

• Пятый участок: $27 \text{ км}$ снова на восток. Соответствующий вектор перемещения $\vec{d_5} = (27, 0) \text{ км}$.

Схема маршрута представляет собой последовательное графическое сложение этих векторов: конец (голова) каждого предыдущего вектора является началом (хвостом) следующего. Итоговое перемещение или результирующий вектор представляет собой вектор, проведенный из начальной точки (начала первого вектора) в конечную точку (конец последнего вектора).

Ответ: Схема маршрута строится как цепь из пяти векторов перемещения, соединенных последовательно, где каждый последующий вектор начинается там, где заканчивается предыдущий.

Расстояние от начальной до конечной точки маршрута

Расстояние от начальной до конечной точки маршрута — это модуль результирующего вектора перемещения $\vec{D}$, который равен векторной сумме всех отдельных векторов перемещения:

$\vec{D} = \vec{d_1} + \vec{d_2} + \vec{d_3} + \vec{d_4} + \vec{d_5}$

Найдем компоненты результирующего вектора по осям X и Y:

X-компонента (суммарное перемещение по оси восток-запад): $D_x = 0 \text{ км} + 18 \text{ км} - 7 \text{ км} + 0 \text{ км} + 27 \text{ км} = (18 - 7 + 27) \text{ км} = (11 + 27) \text{ км} = 38 \text{ км}$

Y-компонента (суммарное перемещение по оси север-юг): $D_y = 32 \text{ км} + 0 \text{ км} + 0 \text{ км} - 11 \text{ км} + 0 \text{ км} = (32 - 11) \text{ км} = 21 \text{ км}$

Таким образом, результирующий вектор перемещения равен $\vec{D} = (38, 21) \text{ км}$.

Расстояние от начальной до конечной точки (модуль вектора $\vec{D}$) вычисляется по формуле:

$D = \sqrt{D_x^2 + D_y^2}$ $D = \sqrt{(38 \text{ км})^2 + (21 \text{ км})^2}$ $D = \sqrt{1444 \text{ км}^2 + 441 \text{ км}^2}$ $D = \sqrt{1885 \text{ км}^2}$ $D \approx 43.4165 \text{ км}$

Округляя до двух знаков после запятой, получаем $D \approx 43.42 \text{ км}$.

Ответ: Расстояние от начальной до конечной точки маршрута составляет примерно $43.42 \text{ км}$.

Изменится ли это расстояние, если поменять очередность пройденных участков пути, не меняя их направлений и длин?

Векторное сложение подчиняется свойству коммутативности (переместительности) и ассоциативности (сочетательности). Это означает, что порядок, в котором векторы складываются, не влияет на их результирующую сумму. Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ справедливо:

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

и

$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

Поскольку каждый участок пути представлен вектором определенной длины и направления, их смена порядка при сложении не изменит итоговый результирующий вектор перемещения. Следовательно, и модуль этого результирующего вектора, который представляет собой расстояние от начальной до конечной точки, также останется неизменным.

Ответ: Нет, расстояние от начальной до конечной точки маршрута не изменится, так как векторное сложение является коммутативной и ассоциативной операцией, и результат суммы векторов не зависит от порядка их сложения.