Страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

52. Дан равносторонний треугольник ABC со стороной, равной a. Докажите, что:

а) $|\vec{CA} + \vec{AB}| = |\vec{CA} - \vec{CB}|$;

б) $|\vec{AB} - \vec{BC}| = |\vec{AB} + \vec{AC}|$.

Дано:

Треугольник $ABC$ - равносторонний.

Длина стороны: $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{CA}| = a$.

Все углы треугольника равны $60^\circ$.

Найти:

Доказать следующие равенства:

а) $|\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}|$

б) $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$

Решение:

а) Доказать: $|\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}|$

Рассмотрим левую часть равенства:

Используем правило сложения векторов (правило треугольника): $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$.

Тогда $|\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CB}|$.

Поскольку $ABC$ - равносторонний треугольник со стороной $a$, длина вектора $\overrightarrow{CB}$ равна $a$.

Следовательно, $|\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}| = a$.

Рассмотрим правую часть равенства:

Используем правило вычитания векторов: $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}$. Если векторы имеют общее начало ($C$), то их разность равна вектору, идущему от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого вектора. То есть, $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BA}$.

Тогда $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}| = |\overrightarrow{BA}|$.

Поскольку $ABC$ - равносторонний треугольник со стороной $a$, длина вектора $\overrightarrow{BA}$ равна $a$.

Следовательно, $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}| = a$.

Поскольку левая и правая части равенства равны $a$, равенство доказано.

Ответ: доказано.

б) Доказать: $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$

Для доказательства равенства длин векторов воспользуемся формулой для модуля разности/суммы векторов:$|\vec{u} \pm \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 \pm 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$, где $\theta$ - угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$.

В равностороннем треугольнике $ABC$ все стороны равны $a$ и все углы равны $60^\circ$.

Рассмотрим левую часть равенства: $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}|$.

$|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 - 2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|\cos(\angle(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}))$.

Длины векторов $|\overrightarrow{AB}| = a$ и $|\overrightarrow{BC}| = a$.

Угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$:Вектор $\overrightarrow{AB}$ направлен от $A$ к $B$. Вектор $\overrightarrow{BC}$ направлен от $B$ к $C$.Угол $ABC$ в треугольнике равен $60^\circ$.Если мы расположим векторы так, чтобы их начала совпадали, то угол между $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ будет равен $180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.(Представьте, что вы стоите в точке $B$. Вектор $\overrightarrow{BA}$ направлен назад по стороне $AB$. Вектор $\overrightarrow{BC}$ направлен вперед по стороне $BC$. Угол между $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$ равен $60^\circ$. Вектор $\overrightarrow{AB}$ противоположен $\overrightarrow{BA}$, поэтому угол между $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$).

Таким образом, $\cos(\angle(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC})) = \cos(120^\circ) = -1/2$.

Подставляем значения:

$|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}|^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot (-1/2)$

$|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}|^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.

$|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Рассмотрим правую часть равенства: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$.

$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 + 2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos(\angle(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}))$.

Длины векторов $|\overrightarrow{AB}| = a$ и $|\overrightarrow{AC}| = a$.

Угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$:Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ имеют общее начало $A$. Угол между ними равен внутреннему углу $\angle BAC$ треугольника, который составляет $60^\circ$.

Таким образом, $\cos(\angle(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})) = \cos(60^\circ) = 1/2$.

Подставляем значения:

$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|^2 = a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot (1/2)$

$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.

$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Поскольку левая и правая части равенства равны $a\sqrt{3}$, равенство доказано.

Ответ: доказано.

53. Даны три неколлинеарных вектора $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ (рисунок 52). Постройте вектор $\vec{x}$ такой, что:

а) $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{x}$;

б) $\vec{a} - \vec{x} = \vec{b} + \vec{c}$.

Рисунок 52

Дано
Три неколлинеарных вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, изображенные на "Рисунке 52".
Исходя из рисунка, если принять сторону клетки за единицу длины, их компоненты следующие:
$\vec{a} = (4, 0)$
$\vec{b} = (-2, -4)$
$\vec{c} = (0, -4)$

Перевод в СИ: Не требуется, так как задача является задачей на построение векторов и не содержит физических величин.

Найти
Построить вектор $\vec{x}$ для следующих условий:
а) $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{x}$
б) $\vec{a} - \vec{x} = \vec{b} + \vec{c}$

Решение

а) $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{x}$
Для нахождения вектора $\vec{x}$ выразим его из данного уравнения:
$\vec{x} = \vec{c} - \vec{a} - \vec{b}$
Подставим координатные значения векторов:
$\vec{x} = (0, -4) - (4, 0) - (-2, -4)$
Выполним вычитание по компонентам:
$\vec{x} = (0 - 4 - (-2), -4 - 0 - (-4))$
$\vec{x} = (0 - 4 + 2, -4 - 0 + 4)$
$\vec{x} = (-2, 0)$
Геометрическое построение:
1. От произвольной точки на плоскости (например, начала координат) отложите вектор $\vec{a}$.
2. От конца вектора $\vec{a}$ отложите вектор $\vec{b}$. Полученный вектор $\vec{S} = \vec{a} + \vec{b}$ будет соединять начало вектора $\vec{a}$ с концом вектора $\vec{b}$.
3. Уравнение можно переписать как $\vec{c} = \vec{S} + \vec{x}$, откуда $\vec{x} = \vec{c} - \vec{S}$.
4. Чтобы построить разность векторов $\vec{c} - \vec{S}$, отложите векторы $\vec{c}$ и $\vec{S}$ из одной и той же точки (общего начала). Вектор $\vec{x} = \vec{c} - \vec{S}$ будет начинаться в конце вектора $\vec{S}$ и заканчиваться в конце вектора $\vec{c}$.
5. Полученный вектор $\vec{x}$ будет иметь компоненты $(-2, 0)$, то есть будет направлен на 2 единицы влево.

Ответ: $\vec{x} = (-2, 0)$

б) $\vec{a} - \vec{x} = \vec{b} + \vec{c}$
Для нахождения вектора $\vec{x}$ выразим его из данного уравнения:
$\vec{a} - \vec{x} = \vec{b} + \vec{c}$
$\vec{x} = \vec{a} - (\vec{b} + \vec{c})$
Или, раскрыв скобки:
$\vec{x} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$
Подставим координатные значения векторов:
$\vec{x} = (4, 0) - (-2, -4) - (0, -4)$
Выполним вычитание по компонентам:
$\vec{x} = (4 - (-2) - 0, 0 - (-4) - (-4))$
$\vec{x} = (4 + 2 - 0, 0 + 4 + 4)$
$\vec{x} = (6, 8)$
Геометрическое построение:
1. Сначала постройте сумму векторов $\vec{R} = \vec{b} + \vec{c}$. Для этого отложите вектор $\vec{b}$ из произвольной точки, а затем от конца вектора $\vec{b}$ отложите вектор $\vec{c}$. Вектор $\vec{R}$ соединит начало вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{c}$.
2. Уравнение можно переписать как $\vec{a} - \vec{x} = \vec{R}$, откуда $\vec{x} = \vec{a} - \vec{R}$.
3. Чтобы построить разность векторов $\vec{a} - \vec{R}$, отложите векторы $\vec{a}$ и $\vec{R}$ из одной и той же точки (общего начала). Вектор $\vec{x} = \vec{a} - \vec{R}$ будет начинаться в конце вектора $\vec{R}$ и заканчиваться в конце вектора $\vec{a}$.
4. Полученный вектор $\vec{x}$ будет иметь компоненты $(6, 8)$, то есть будет направлен на 6 единиц вправо и 8 единиц вверх.

Ответ: $\vec{x} = (6, 8)$

54. Даны параллелограмм ABCD и произвольная точка X плоскости. Докажите, что:

а) $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$;

б) $\vec{XB} + \vec{BC} + \vec{CA} = -(\vec{BX} - \vec{CD})$.

Дано:Параллелограмм $ABCD$.Произвольная точка $X$ плоскости.

Найти:Доказать следующие векторные равенства:a) $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$b) $\vec{XB} + \vec{BC} + \vec{CA} = -(\vec{BX} - \vec{CD})$

Решение

a) $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$

Пусть $M$ — середина диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$.Известно свойство векторов, что для любой точки $X$ и отрезка $AC$ с серединой $M$ справедливо равенство:$\vec{XA} + \vec{XC} = 2\vec{XM}$

Аналогично, пусть $N$ — середина диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$.Для той же произвольной точки $X$ и отрезка $BD$ с серединой $N$ справедливо равенство:$\vec{XB} + \vec{XD} = 2\vec{XN}$

По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей $AC$ и $BD$ совпадают. Следовательно, точки $M$ и $N$ — это одна и та же точка.

Таким образом, векторы $\vec{XM}$ и $\vec{XN}$ равны: $\vec{XM} = \vec{XN}$.

Умножая это равенство на 2, получаем: $2\vec{XM} = 2\vec{XN}$.

Подставляя обратно выражения для сумм векторов, получаем:$\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) $\vec{XB} + \vec{BC} + \vec{CA} = -(\vec{BX} - \vec{CD})$

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства (LHS):$LHS = \vec{XB} + \vec{BC} + \vec{CA}$

Используем правило сложения векторов (правило треугольника) для первых двух векторов: $\vec{XB} + \vec{BC} = \vec{XC}$.

Теперь подставим это в выражение для $LHS$:$LHS = \vec{XC} + \vec{CA}$

Снова применяем правило треугольника к полученной сумме: $\vec{XC} + \vec{CA} = \vec{XA}$.Таким образом, левая часть равенства $LHS = \vec{XA}$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства (RHS):$RHS = -(\vec{BX} - \vec{CD})$

Раскроем скобки, изменив знаки векторов внутри:$RHS = -\vec{BX} + \vec{CD}$

Вектор, направленный в противоположную сторону, равен исходному вектору с противоположным знаком, то есть $-\vec{BX} = \vec{XB}$.

Подставим это в выражение для $RHS$:$RHS = \vec{XB} + \vec{CD}$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны по длине и параллельны, что означает равенство векторов $\vec{CD}$ и $\vec{BA}$. То есть, $\vec{CD} = \vec{BA}$.

Подставим $\vec{BA}$ вместо $\vec{CD}$ в выражение для $RHS$:$RHS = \vec{XB} + \vec{BA}$

Применяя правило треугольника к сумме $\vec{XB} + \vec{BA}$, получаем: $\vec{XB} + \vec{BA} = \vec{XA}$.

Таким образом, правая часть равенства $RHS = \vec{XA}$.

Поскольку $LHS = \vec{XA}$ и $RHS = \vec{XA}$, то $LHS = RHS$.

Следовательно, равенство $\vec{XB} + \vec{BC} + \vec{CA} = -(\vec{BX} - \vec{CD})$ доказано.

Ответ: Доказано.

55. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке M, AD = 10 см, BD = 12 см. Найдите:

а) $\\left| \\vec{AD} + \\vec{AB} - \\vec{BC} - \\vec{MB} \\right|$;

б) $\\left| \\vec{CB} + \\vec{BD} - \\vec{BM} - \\vec{MA} \\right|$.

Дано:

В ромбе $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $M$.

$AD = 10 \text{ см}$

$BD = 12 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$AD = 0.1 \text{ м}$

$BD = 0.12 \text{ м}$

Найти:

а) $|\vec{AD} + \vec{AB} - \vec{BC} - \vec{MB}|$

б) $|\vec{CB} + \vec{BD} - \vec{BM} - \vec{MA}|$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся свойствами ромба и правилами сложения и вычитания векторов.

В ромбе $ABCD$ все стороны равны, поэтому $AB = BC = CD = AD = 10 \text{ см}$.

Диагонали ромба пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам. Также диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Следовательно, треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба, является прямоугольным.

Найдем длины половин диагоналей. Поскольку $M$ является серединой $BD$:

$BM = MD = \frac{BD}{2} = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMB$ (поскольку $AC \perp BD$). По теореме Пифагора:

$AM^2 + BM^2 = AB^2$

$AM^2 + (6 \text{ см})^2 = (10 \text{ см})^2$

$AM^2 + 36 \text{ см}^2 = 100 \text{ см}^2$

$AM^2 = 100 \text{ см}^2 - 36 \text{ см}^2 = 64 \text{ см}^2$

$AM = \sqrt{64 \text{ см}^2} = 8 \text{ см}$.

Длина диагонали $AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 8 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

а)

Обозначим искомое векторное выражение за $\vec{X_a}$.

$\vec{X_a} = \vec{AD} + \vec{AB} - \vec{BC} - \vec{MB}$

В ромбе (как и в любом параллелограмме) противоположные стороны равны и параллельны, что означает равенство соответствующих векторов: $\vec{AD} = \vec{BC}$.

Подставим $\vec{BC} = \vec{AD}$ в выражение:

$\vec{X_a} = \vec{AD} + \vec{AB} - \vec{AD} - \vec{MB}$

Сокращаем противоположные векторы $\vec{AD}$ и $-\vec{AD}$:

$\vec{X_a} = \vec{AB} - \vec{MB}$

Используем свойство, что вычитание вектора равно прибавлению противоположного вектора: $-\vec{MB} = \vec{BM}$:

$\vec{X_a} = \vec{AB} + \vec{BM}$

По правилу треугольника (для $\triangle ABM$, где $\vec{AB}$ и $\vec{BM}$ - последовательные векторы, идущие из одной точки в другую):

$\vec{AB} + \vec{BM} = \vec{AM}$

Таким образом, $\vec{X_a} = \vec{AM}$.

Нам нужно найти модуль этого вектора, то есть его длину $|\vec{AM}| = AM$.

Мы уже вычислили $AM = 8 \text{ см}$.

Ответ: $8 \text{ см}$

б)

Обозначим искомое векторное выражение за $\vec{X_b}$.

$\vec{X_b} = \vec{CB} + \vec{BD} - \vec{BM} - \vec{MA}$

Для упрощения выражения перепишем все векторы, используя точку $M$ как опорную точку (т.е. представим их как разность радиус-векторов, если $M$ - начало координат, или просто используем свойства векторов относительно $M$).

Вектор $\vec{XY}$ может быть представлен как $\vec{MY} - \vec{MX}$.

$\vec{CB} = \vec{MB} - \vec{MC}$

$\vec{BD} = \vec{MD} - \vec{MB}$

$\vec{BM} = -\vec{MB}$ (вектор, противоположный $\vec{MB}$)

$\vec{MA}$ остается $\vec{MA}$, так как он уже начинается из $M$.

Подставим эти выражения в $\vec{X_b}$:

$\vec{X_b} = (\vec{MB} - \vec{MC}) + (\vec{MD} - \vec{MB}) - (-\vec{MB}) - \vec{MA}$

Раскроем скобки и упростим:

$\vec{X_b} = \vec{MB} - \vec{MC} + \vec{MD} - \vec{MB} + \vec{MB} - \vec{MA}$

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$\vec{X_b} = (\vec{MB} - \vec{MB} + \vec{MB}) + \vec{MD} - \vec{MC} - \vec{MA}$

$\vec{X_b} = \vec{MB} + \vec{MD} - \vec{MC} - \vec{MA}$

Теперь используем то, что $M$ - середина диагоналей $AC$ и $BD$. Это означает, что векторы, идущие от $M$ к противоположным концам диагонали, являются противоположными по направлению, но равными по модулю:

$\vec{MD} = -\vec{MB}$

$\vec{MC} = -\vec{MA}$

Подставим эти соотношения в выражение для $\vec{X_b}$:

$\vec{X_b} = \vec{MB} + (-\vec{MB}) - (-\vec{MA}) - \vec{MA}$

$\vec{X_b} = \vec{MB} - \vec{MB} + \vec{MA} - \vec{MA}$

$\vec{X_b} = \vec{0}$

Модуль нулевого вектора равен $0$.

Ответ: $0$

56. Дана окружность с центром $O$ и радиусом 2 см и проведены ее радиусы $OA, OB$ и $OC$, причем $\angle AOB = \angle AOC = \angle BOC$.

Найдите $|\vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC}|.$

Окружность с центром $O$ и радиусом $R = 2 \text{ см}$.

Проведены радиусы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$.

Углы между радиусами: $\angle AOB = \angle AOC = \angle BOC$.

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

$|\vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC}|$

По условию задачи, углы между радиусами $\angle AOB$, $\angle AOC$ и $\angle BOC$ равны. Сумма этих углов вокруг центра $O$ составляет полный круг, то есть $360^\circ$.

Следовательно, каждый из углов равен:

$\angle AOB = \angle AOC = \angle BOC = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$

Векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ являются радиус-векторами, проведенными из центра окружности к точкам на ней, и имеют одинаковую длину, равную радиусу $R$. Поскольку углы между этими векторами попарно равны $120^\circ$, точки $A$, $B$, $C$ образуют вершины правильного треугольника, вписанного в окружность с центром $O$.

Известно, что для радиус-векторов, проведенных из центра правильного многоугольника к его вершинам, их векторная сумма равна нулевому вектору. В случае правильного треугольника это означает:

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}$

Из этого векторного равенства мы можем выразить сумму $\vec{OA} + \vec{OB}$:

$\vec{OA} + \vec{OB} = -\vec{OC}$

Теперь подставим это выражение в искомое значение, которое требуется найти:

$|\vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC}| = |(-\vec{OC}) - \vec{OC}|$

$|\vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC}| = |-2\vec{OC}|$

Модуль произведения скаляра на вектор равен произведению модуля скаляра на модуль вектора:

$|-2\vec{OC}| = |-2| \cdot |\vec{OC}|$

$|-2| \cdot |\vec{OC}| = 2 \cdot |\vec{OC}|$

Вектор $\vec{OC}$ является радиус-вектором, поэтому его модуль равен радиусу окружности $R$. Используем значение радиуса в системе СИ:

$|\vec{OC}| = R = 0.02 \text{ м}$

Подставляем значение $R$ в выражение:

$2 \cdot |\vec{OC}| = 2 \cdot 0.02 \text{ м} = 0.04 \text{ м}$

Модуль вектора равен $0.04 \text{ м}$.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Начертите два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и постройте вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$. Измерьте длины этих векторов. Исследуйте, как изменяется длина вектора $\vec{c}$, если длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ увеличить:

а) в два раза;

б) в пять раз.

Для решения данной задачи необходимо выполнить несколько этапов: построение векторов, измерение их длин (описательно, так как невозможно выполнить физически), а затем аналитическое исследование изменения длины результирующего вектора при масштабировании исходных.

Дано:

Неколлинеарные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$.
Длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ изменяются в $k$ раз.

Перевод в систему СИ:

Данная задача является концептуальной и предполагает геометрическое построение и анализ векторных соотношений. Длины векторов могут быть выражены в любых единицах длины (например, сантиметрах), которые сами по себе являются единицами системы СИ, или в условных единицах, не требующих специального перевода. Поэтому конкретный перевод числовых значений в систему СИ не требуется.

Найти:

Как изменится длина вектора $\vec{c}$, если длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ увеличить:
а) в два раза;
б) в пять раз.

Решение:

Для наглядности рассмотрим каждый из этапов практического задания.

1. Начертите два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и постройте вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$.

Для построения неколлинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ следует начертить два вектора, которые не лежат на одной прямой и не параллельны друг другу. Можно выбрать произвольные начальные и конечные точки для каждого из них, например, на листе бумаги или координатной плоскости.

Построение вектора $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ может быть выполнено одним из следующих способов:

Метод 1 (правило треугольника с использованием отрицательного вектора):
1. Из некоторой точки (начала координат или произвольной) начертите вектор $\vec{a}$.
2. От конца вектора $\vec{a}$ начертите вектор $-\vec{b}$. Вектор $-\vec{b}$ имеет ту же длину, что и $\vec{b}$, но противоположное направление.
3. Вектор $\vec{c}$ будет представлять собой вектор, идущий от начала вектора $\vec{a}$ к концу вектора $-\vec{b}$.

Метод 2 (из одной общей начальной точки):
1. От одной общей начальной точки начертите векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
2. Вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ будет направлен от конца вектора $\vec{b}$ к концу вектора $\vec{a}$. Этот метод наглядно показывает, что $\vec{c}$ является третьей стороной треугольника, образованного векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

2. Измерьте длины этих векторов.

После выполнения построений, длины векторов $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$ и $|\vec{c}|$ можно измерить с помощью линейки. Эти измерения будут соответствовать графическому решению задачи.

3. Исследуйте, как изменяется длина вектора $\vec{c}$, если длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ увеличить:

Для аналитического исследования изменения длины вектора $\vec{c}$ воспользуемся свойствами операций над векторами.

Пусть исходные векторы имеют длины $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$. Вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$.

Если длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ увеличить в $k$ раз, то новые векторы можно обозначить как $\vec{a}'$ и $\vec{b}'$. Это означает, что $\vec{a}' = k\vec{a}$ и $\vec{b}' = k\vec{b}$.

Теперь найдем новый результирующий вектор $\vec{c}'$:
$\vec{c}' = \vec{a}' - \vec{b}'$

Подставим выражения для $\vec{a}'$ и $\vec{b}'$:
$\vec{c}' = k\vec{a} - k\vec{b}$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки:
$\vec{c}' = k(\vec{a} - \vec{b})$

Так как $(\vec{a} - \vec{b})$ это исходный вектор $\vec{c}$, то:
$\vec{c}' = k\vec{c}$

Теперь найдем длину нового вектора $\vec{c}'$:
$|\vec{c}'| = |k\vec{c}|$

Из свойства модуля вектора, умноженного на скаляр, известно, что $|k\vec{v}| = |k||\vec{v}|$. Поскольку $k$ – это коэффициент увеличения длины (в данном случае 2 или 5), он всегда является положительным числом, то есть $|k| = k$.
Следовательно:
$|\vec{c}'| = k|\vec{c}|$

Это соотношение показывает, что длина вектора $\vec{c}$ изменится во столько же раз, во сколько были увеличены длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

а) в два раза;

В этом случае коэффициент увеличения $k = 2$.
Используя выведенную формулу, получаем:
$|\vec{c}'| = 2|\vec{c}|$
Это означает, что если длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ увеличены в два раза, то длина вектора $\vec{c}$ также увеличится в два раза.

Ответ:

Длина вектора $\vec{c}$ увеличится в два раза.

б) в пять раз.

В этом случае коэффициент увеличения $k = 5$.
Используя выведенную формулу, получаем:
$|\vec{c}'| = 5|\vec{c}|$
Это означает, что если длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ увеличены в пять раз, то длина вектора $\vec{c}$ также увеличится в пять раз.

Ответ:

Длина вектора $\vec{c}$ увеличится в пять раз.