Практическое задание, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Начертите два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и постройте вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$. Измерьте длины этих векторов. Исследуйте, как изменяется длина вектора $\vec{c}$, если длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ увеличить:

а) в два раза;

б) в пять раз.

Для решения данной задачи необходимо выполнить несколько этапов: построение векторов, измерение их длин (описательно, так как невозможно выполнить физически), а затем аналитическое исследование изменения длины результирующего вектора при масштабировании исходных.

Дано:

Неколлинеарные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$.
Длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ изменяются в $k$ раз.

Перевод в систему СИ:

Данная задача является концептуальной и предполагает геометрическое построение и анализ векторных соотношений. Длины векторов могут быть выражены в любых единицах длины (например, сантиметрах), которые сами по себе являются единицами системы СИ, или в условных единицах, не требующих специального перевода. Поэтому конкретный перевод числовых значений в систему СИ не требуется.

Найти:

Как изменится длина вектора $\vec{c}$, если длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ увеличить:
а) в два раза;
б) в пять раз.

Решение:

Для наглядности рассмотрим каждый из этапов практического задания.

1. Начертите два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и постройте вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$.

Для построения неколлинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ следует начертить два вектора, которые не лежат на одной прямой и не параллельны друг другу. Можно выбрать произвольные начальные и конечные точки для каждого из них, например, на листе бумаги или координатной плоскости.

Построение вектора $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ может быть выполнено одним из следующих способов:

Метод 1 (правило треугольника с использованием отрицательного вектора):
1. Из некоторой точки (начала координат или произвольной) начертите вектор $\vec{a}$.
2. От конца вектора $\vec{a}$ начертите вектор $-\vec{b}$. Вектор $-\vec{b}$ имеет ту же длину, что и $\vec{b}$, но противоположное направление.
3. Вектор $\vec{c}$ будет представлять собой вектор, идущий от начала вектора $\vec{a}$ к концу вектора $-\vec{b}$.

Метод 2 (из одной общей начальной точки):
1. От одной общей начальной точки начертите векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
2. Вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ будет направлен от конца вектора $\vec{b}$ к концу вектора $\vec{a}$. Этот метод наглядно показывает, что $\vec{c}$ является третьей стороной треугольника, образованного векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

2. Измерьте длины этих векторов.

После выполнения построений, длины векторов $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$ и $|\vec{c}|$ можно измерить с помощью линейки. Эти измерения будут соответствовать графическому решению задачи.

3. Исследуйте, как изменяется длина вектора $\vec{c}$, если длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ увеличить:

Для аналитического исследования изменения длины вектора $\vec{c}$ воспользуемся свойствами операций над векторами.

Пусть исходные векторы имеют длины $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$. Вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$.

Если длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ увеличить в $k$ раз, то новые векторы можно обозначить как $\vec{a}'$ и $\vec{b}'$. Это означает, что $\vec{a}' = k\vec{a}$ и $\vec{b}' = k\vec{b}$.

Теперь найдем новый результирующий вектор $\vec{c}'$:
$\vec{c}' = \vec{a}' - \vec{b}'$

Подставим выражения для $\vec{a}'$ и $\vec{b}'$:
$\vec{c}' = k\vec{a} - k\vec{b}$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки:
$\vec{c}' = k(\vec{a} - \vec{b})$

Так как $(\vec{a} - \vec{b})$ это исходный вектор $\vec{c}$, то:
$\vec{c}' = k\vec{c}$

Теперь найдем длину нового вектора $\vec{c}'$:
$|\vec{c}'| = |k\vec{c}|$

Из свойства модуля вектора, умноженного на скаляр, известно, что $|k\vec{v}| = |k||\vec{v}|$. Поскольку $k$ – это коэффициент увеличения длины (в данном случае 2 или 5), он всегда является положительным числом, то есть $|k| = k$.
Следовательно:
$|\vec{c}'| = k|\vec{c}|$

Это соотношение показывает, что длина вектора $\vec{c}$ изменится во столько же раз, во сколько были увеличены длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

а) в два раза;

В этом случае коэффициент увеличения $k = 2$.
Используя выведенную формулу, получаем:
$|\vec{c}'| = 2|\vec{c}|$
Это означает, что если длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ увеличены в два раза, то длина вектора $\vec{c}$ также увеличится в два раза.

Ответ:

Длина вектора $\vec{c}$ увеличится в два раза.

б) в пять раз.

В этом случае коэффициент увеличения $k = 5$.
Используя выведенную формулу, получаем:
$|\vec{c}'| = 5|\vec{c}|$
Это означает, что если длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ увеличены в пять раз, то длина вектора $\vec{c}$ также увеличится в пять раз.

Ответ:

Длина вектора $\vec{c}$ увеличится в пять раз.