Номер 50, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

50. Дан параллелограмм MNPK, диагонали которого пересекаются в точке O, и векторы $ \vec{a} = \vec{ON} $, $ \vec{b} = \vec{OP} $. Выразите через $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ векторы $ \vec{MK} $, $ \vec{MN} $, $ \vec{PN} $, $ \vec{PK} $.

Дано:

Параллелограмм $MNPK$.

Диагонали $MP$ и $NK$ пересекаются в точке $O$.

Векторы: $\vec{a} = \vec{ON}$, $\vec{b} = \vec{OP}$.

Найти:

Выразить через $\vec{a}$ и $\vec{b}$ векторы $\vec{MK}$, $\vec{MN}$, $\vec{PN}$, $\vec{PK}$.

Решение:

В параллелограмме $MNPK$ диагонали $MP$ и $NK$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам.

Это означает, что точка $O$ является серединой отрезков $MP$ и $NK$.

Исходя из этого, можем установить следующие векторные соотношения:

Поскольку $O$ - середина $NK$ и $\vec{a} = \vec{ON}$, то $\vec{OK} = -\vec{ON} = -\vec{a}$.

Поскольку $O$ - середина $MP$ и $\vec{b} = \vec{OP}$, то $\vec{OM} = -\vec{OP} = -\vec{b}$. Следовательно, $\vec{MO} = -\vec{OM} = \vec{b}$.

Теперь выразим требуемые векторы:

Вектор $\vec{MK}$

Для нахождения вектора $\vec{MK}$ воспользуемся правилом треугольника для $\triangle MOK$: $\vec{MK} = \vec{MO} + \vec{OK}$.

Подставляем ранее полученные выражения для $\vec{MO}$ и $\vec{OK}$:

$\vec{MK} = \vec{b} + (-\vec{a}) = \vec{b} - \vec{a}$.

Ответ: $\vec{MK} = \vec{b} - \vec{a}$.

Вектор $\vec{MN}$

Для нахождения вектора $\vec{MN}$ воспользуемся правилом треугольника для $\triangle MON$: $\vec{MN} = \vec{MO} + \vec{ON}$.

Подставляем ранее полученное выражение для $\vec{MO}$ и данное выражение для $\vec{ON}$:

$\vec{MN} = \vec{b} + \vec{a}$.

Ответ: $\vec{MN} = \vec{a} + \vec{b}$.

Вектор $\vec{PN}$

Для нахождения вектора $\vec{PN}$ воспользуемся правилом треугольника для $\triangle PON$: $\vec{PN} = \vec{PO} + \vec{ON}$.

Вектор $\vec{PO}$ является противоположным вектору $\vec{OP}$, то есть $\vec{PO} = -\vec{OP}$. Поскольку $\vec{OP} = \vec{b}$, то $\vec{PO} = -\vec{b}$.

Подставляем полученное выражение для $\vec{PO}$ и данное выражение для $\vec{ON}$:

$\vec{PN} = -\vec{b} + \vec{a} = \vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{PN} = \vec{a} - \vec{b}$.

Вектор $\vec{PK}$

Для нахождения вектора $\vec{PK}$ воспользуемся правилом треугольника для $\triangle POK$: $\vec{PK} = \vec{PO} + \vec{OK}$.

Подставляем ранее полученные выражения для $\vec{PO}$ и $\vec{OK}$:

$\vec{PK} = -\vec{b} + (-\vec{a}) = -\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{PK} = -\vec{a} - \vec{b}$.