Номер 47, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

47. Сколько нужно векторов для того, чтобы на карте Казахстана показать перемещение из столицы с заходом в каждый областной город один за другим и снова в Нур-Султан? Отметьте точками примерное положение городов по отношению к столице и покажите одно из таких перемещений. Чему равна сумма всех таких векторов?

Количество векторов

Казахстан имеет 17 областей, и каждая область имеет свой административный центр, который является областным городом. Столицей Казахстана на данный момент является город Астана (бывший Нур-Султан). Путешествие начинается из столицы, посещает каждый из 17 областных городов один за другим, а затем возвращается в столицу. Это можно представить как замкнутый путь или цикл, проходящий через столицу и все 17 областных центров. Если у нас есть $N$ областных городов и столица, общее количество точек в маршруте будет $N+1$. Для формирования замкнутого пути, проходящего через $K$ различных точек и возвращающегося в начальную точку, требуется $K$ векторов. В данном случае, мы начинаем и заканчиваем в столице, посещая 17 других уникальных городов. Таким образом, путь состоит из:

• одного вектора от столицы до первого областного города;
• 16 векторов между последовательно посещаемыми областными городами (от первого до второго, от второго до третьего, ..., от шестнадцатого до семнадцатого);
• одного вектора от последнего областного города обратно в столицу.

Ответ: 18

Представление перемещения на карте

На карте Казахстана можно отметить точки, обозначающие города. Пусть точка $P_0$ представляет столицу Астану (Нур-Султан), а точки $P_1, P_2, \dots, P_{17}$ представляют 17 областных городов. Примерное положение городов относительно столицы можно визуализировать как множество точек, расположенных по всей территории Казахстана, с Астаной (Нур-Султан) примерно в центре страны. Одно из возможных перемещений, посещающее каждый областной город один за другим и возвращающееся в столицу, можно представить как последовательность векторов: $\vec{P_0 P_1}, \vec{P_1 P_2}, \vec{P_2 P_3}, \dots, \vec{P_{16} P_{17}}, \vec{P_{17} P_0}$. Это означает, что первое перемещение идет из столицы в первый областной город, второе - из первого областного города во второй, и так далее, до последнего перемещения, которое идет из семнадцатого областного города обратно в столицу.

Ответ: Примерное положение городов - это точки, распределенные по территории Казахстана, с центральной точкой, представляющей столицу. Одно из перемещений показано как последовательность векторов $\vec{P_0 P_1}, \vec{P_1 P_2}, \dots, \vec{P_{17} P_0}$.

Сумма всех векторов

Пусть перемещение представлено последовательностью векторов $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \dots, \vec{v_{18}}$. Векторы образуют замкнутый цикл, так как путь начинается в столице ($P_0$), проходит через все 17 областных городов ($P_1, P_2, \dots, P_{17}$) и завершается возвращением в ту же начальную точку ($P_0$). При сложении векторов по правилу "начала-конца" (или треугольника/многоугольника), если конец одного вектора является началом следующего, их сумма представляет собой вектор, проведенный от начала первого вектора к концу последнего. В данном случае: $\vec{v_1} = \vec{P_0 P_1}$ $\vec{v_2} = \vec{P_1 P_2}$ ... $\vec{v_{17}} = \vec{P_{16} P_{17}}$ $\vec{v_{18}} = \vec{P_{17} P_0}$ Сумма всех векторов будет: $\vec{S} = \vec{v_1} + \vec{v_2} + \dots + \vec{v_{17}} + \vec{v_{18}}$ $\vec{S} = \vec{P_0 P_1} + \vec{P_1 P_2} + \dots + \vec{P_{16} P_{17}} + \vec{P_{17} P_0}$ По правилу сложения векторов, эта сумма равна вектору, который начинается в $P_0$ и заканчивается в $P_0$. То есть, $\vec{S} = \vec{P_0 P_0}$. Вектор, начало и конец которого совпадают, является нулевым вектором. Следовательно, сумма всех таких векторов равна нулевому вектору.

Ответ: Сумма всех таких векторов равна нулевому вектору ($ \vec{0} $).