Вопросы, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Что называется суммой двух векторов?

2. Как сложить два вектора по правилу: а) треугольника; б) параллелограмма? Приведите примеры.

3. Запишите формулами переместительный и сочетательный законы сложения векторов.

4. Как сложить четыре вектора по правилу многоугольника? Приведите пример.

5. Какой вектор называется разностью двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$?

6. Как построить вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$? Предложите два способа построения.

1. Что называется суммой двух векторов?

Суммой двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется третий вектор $\vec{c}$, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец - с концом второго вектора, при условии, что начало второго вектора совпадает с концом первого. Это также известно как правило треугольника.

Математически, если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — векторы, то их сумма $\vec{c}$ обозначается как $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$.

Ответ:

2. Как сложить два вектора по правилу: а) треугольника; б) параллелограмма? Приведите примеры.

а) треугольника

Чтобы сложить два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу треугольника, необходимо отложить от конца первого вектора $\vec{a}$ вектор $\vec{b}$. Тогда сумма векторов $\vec{a} + \vec{b}$ будет вектором, идущим от начала вектора $\vec{a}$ к концу вектора $\vec{b}$.

Пример: Представьте, что вы сначала прошли 3 метра на восток (вектор $\vec{a}$), а затем 4 метра на север (вектор $\vec{b}$). Ваше итоговое перемещение от начальной точки до конечной (вектор $\vec{a} + \vec{b}$) будет вектором, соединяющим начало первого вектора с концом второго.

Ответ:

б) параллелограмма

Чтобы сложить два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу параллелограмма, необходимо отложить оба вектора от одной общей точки. Затем достроить до параллелограмма, проведя из конца вектора $\vec{a}$ линию, параллельную вектору $\vec{b}$, и из конца вектора $\vec{b}$ линию, параллельную вектору $\vec{a}$. Диагональ параллелограмма, выходящая из общей начальной точки векторов, будет их суммой $\vec{a} + \vec{b}$.

Пример: Если на лодку действуют две силы: одна сила $\vec{F_1}$ направлена на север, а другая сила $\vec{F_2}$ направлена на восток, и они приложены к одной точке лодки. Равнодействующая сила, то есть сумма этих векторов, будет найдена как диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, выходящая из точки приложения сил. Эта сила покажет направление и величину результирующего движения лодки.

Ответ:

3. Запишите формулами переместительный и сочетательный законы сложения векторов.

Переместительный (коммутативный) закон: Сумма векторов не зависит от порядка их слагаемых.

Формула: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

Сочетательный (ассоциативный) закон: Сумма трех и более векторов не зависит от способа их группировки.

Формула: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

Ответ:

4. Как сложить четыре вектора по правилу многоугольника? Приведите пример.

Чтобы сложить несколько векторов (например, $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$) по правилу многоугольника, необходимо последовательно отложить каждый последующий вектор от конца предыдущего. То есть, от конца вектора $\vec{a}$ отложить вектор $\vec{b}$, от конца вектора $\vec{b}$ отложить вектор $\vec{c}$, и от конца вектора $\vec{c}$ отложить вектор $\vec{d}$. Суммарный вектор будет вектором, проведенным от начала первого вектора $\vec{a}$ к концу последнего вектора $\vec{d}$.

Пример: Представьте, что вы совершаете несколько последовательных перемещений: сначала 5 км на север ($\vec{a}$), затем 3 км на восток ($\vec{b}$), потом 2 км на юго-запад ($\vec{c}$), и наконец 4 км на запад ($\vec{d}$). Ваше итоговое перемещение (сумма всех этих векторов) будет вектором, соединяющим вашу начальную точку с конечной точкой после всех перемещений. Этот вектор можно найти, последовательно откладывая каждое перемещение от конца предыдущего и затем соединив начальную точку первого с конечной точкой последнего.

Ответ:

5. Какой вектор называется разностью двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$?

Разностью двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$. То есть, $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, что эквивалентно $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$.

Графически, разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ можно представить как сумму вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$ (обозначаемого $-\vec{b}$). То есть, $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Вектор $-\vec{b}$ имеет ту же длину, что и $\vec{b}$, но противоположное направление.

Ответ:

6. Как построить вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$? Предложите два способа построения.

Существует два основных способа построения вектора разности $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$:

Первый способ (через сложение с противоположным вектором):

1. Отложите вектор $\vec{a}$ от произвольной точки.

2. Постройте вектор $-\vec{b}$, который имеет ту же длину, что и $\vec{b}$, но противоположное направление.

3. Отложите вектор $-\vec{b}$ от конца вектора $\vec{a}$.

4. Вектор $\vec{c}$ будет направлен от начала вектора $\vec{a}$ к концу вектора $-\vec{b}$. Таким образом, $\vec{c} = \vec{a} + (-\vec{b})$.

Второй способ (через общее начало):

1. Отложите оба вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной общей начальной точки.

2. Вектор разности $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ будет вектором, соединяющим конец вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{a}$. Он направлен от конца вычитаемого вектора ($\vec{b}$) к концу уменьшаемого вектора ($\vec{a}$).

Ответ: