Номер 41, страница 22 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

41. В прямоугольной трапеции $ABCD$ большее основание $AD = 14 \text{ см}$, $AB = 6\sqrt{3} \text{ см}$, $\angle D = 60^{\circ}$. Найдите длины векторов:

а) $\vec{CD}$;

б) $\vec{BC}$;

в) $\vec{AC}$.

Дано:

прямоугольная трапеция $ABCD$

большее основание $AD = 14$ см

сторона $AB = 6\sqrt{3}$ см

угол $\angle D = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$AD = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

$AB = 6\sqrt{3} \text{ см} = 0.06\sqrt{3} \text{ м}$

Найти:

а) $|\vec{CD}|$

б) $|\vec{BC}|$

в) $|\vec{AC}|$

Решение:

Построим высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Поскольку трапеция $ABCD$ прямоугольная, то $AB \perp AD$ и $AB \perp BC$. Следовательно, $ABCH$ является прямоугольником. Из этого следует, что $CH = AB = 6\sqrt{3}$ см и $AH = BC$.

а) $\vec{CD}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$.

Угол $\angle D = 60^\circ$.

Высота $CH = AB = 6\sqrt{3}$ см.

Используя определение синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle D) = \frac{CH}{CD}$

$CD = \frac{CH}{\sin(\angle D)}$

Подставим известные значения:

$CD = \frac{6\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)}$

$CD = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$CD = 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$

$CD = 12$ см

Длина вектора $\vec{CD}$ равна длине отрезка $CD$.

Ответ: $|\vec{CD}| = 12 \text{ см}$

б) $\vec{BC}$

В прямоугольном треугольнике $CHD$ найдем длину отрезка $HD$ с помощью косинуса угла $\angle D$:

$\cos(\angle D) = \frac{HD}{CD}$

$HD = CD \cdot \cos(\angle D)$

Подставим известные значения:

$HD = 12 \cdot \cos(60^\circ)$

$HD = 12 \cdot \frac{1}{2}$

$HD = 6$ см

Мы знаем, что $AD = AH + HD$.

Так как $ABCH$ — прямоугольник, $AH = BC$.

Следовательно, $AD = BC + HD$.

Выразим $BC$:

$BC = AD - HD$

$BC = 14 - 6$

$BC = 8$ см

Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине отрезка $BC$.

Ответ: $|\vec{BC}| = 8 \text{ см}$

в) $\vec{AC}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Прямой угол находится при вершине $B$ ($\angle ABC = 90^\circ$), так как $AB$ является высотой трапеции.

Катеты треугольника $ABC$ известны:

$AB = 6\sqrt{3}$ см

$BC = 8$ см (найдено в предыдущем пункте)

Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы $AC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = (6\sqrt{3})^2 + 8^2$

$AC^2 = (36 \cdot 3) + 64$

$AC^2 = 108 + 64$

$AC^2 = 172$

$AC = \sqrt{172}$

$AC = \sqrt{4 \cdot 43}$

$AC = 2\sqrt{43}$ см

Длина вектора $\vec{AC}$ равна длине отрезка $AC$.

Ответ: $|\vec{AC}| = 2\sqrt{43} \text{ см}$