Номер 43, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

Рисунок 51

43. Докажите, что для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ верно неравенство:

а) $|\vec{a}+\vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$

б) $|\vec{a}-\vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$.

Решение

Для доказательства данных неравенств воспользуемся свойством скалярного произведения векторов. Напомним, что квадрат модуля любого вектора $\vec{v}$ равен его скалярному квадрату: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$. Также известно, что скалярное произведение двух векторов $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Поскольку значение косинуса угла всегда находится в диапазоне от -1 до 1 (т.е. $-1 \leq \cos \theta \leq 1$), отсюда следуют важные неравенства: $\vec{a} \cdot \vec{b} \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ и $-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$.

a)

Рассмотрим квадрат модуля вектора суммы $\vec{a} + \vec{b}$:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

Раскроем скалярное произведение, используя свойство коммутативности ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$) и определение модуля ($\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$):

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Применим неравенство $\vec{a} \cdot \vec{b} \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ (поскольку $\cos \theta \leq 1$):

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 \leq |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}| |\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Правая часть данного неравенства является полным квадратом суммы:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 \leq (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

Поскольку модули векторов $|\vec{a} + \vec{b}|$ и $(|\vec{a}| + |\vec{b}|)$ всегда неотрицательны, мы можем взять квадратный корень из обеих частей неравенства, сохраняя его направление:

$|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Это неравенство известно как неравенство треугольника для векторов. Равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (или один из них нулевой).

Ответ: Неравенство $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ доказано.

б)

Для доказательства неравенства $|\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ можно использовать результат, полученный в пункте а).

Рассмотрим вектор $(-\vec{b})$. Его модуль равен модулю вектора $\vec{b}$: $|-\vec{b}| = |\vec{b}|$.

Теперь подставим вектор $(-\vec{b})$ вместо $\vec{b}$ в доказанное неравенство из пункта а):

$|\vec{a} + (-\vec{b})| \leq |\vec{a}| + |-\vec{b}|$

Упростим левую и правую части:

$|\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Таким образом, неравенство $|\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ также доказано. Равенство достигается, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противонаправлены (или один из них нулевой).

Ответ: Неравенство $|\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ доказано.