Практическое задание, страница 22 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

При помощи векторов постройте схему маршрута движения автомобилиста, если он проехал 32 км на север, 18 км на восток, 7 км на запад, 11 км на юг и 27 км снова на восток. Найдите расстояние от начальной до конечной точки маршрута. Изменится ли это расстояние, если поменять очередность пройденных участков пути, не меняя их направлений и длин?

Дано

Первый участок пути (север): $d_1 = 32 \text{ км}$

Второй участок пути (восток): $d_2 = 18 \text{ км}$

Третий участок пути (запад): $d_3 = 7 \text{ км}$

Четвертый участок пути (юг): $d_4 = 11 \text{ км}$

Пятый участок пути (восток): $d_5 = 27 \text{ км}$

Перевод в СИ

Все данные представлены в километрах, что является приемлемой единицей измерения расстояния для данной задачи. Перевод в метры не требуется, так как расчеты удобно производить в километрах, и конечный результат будет также в километрах.

Найти

1. Построить схему маршрута движения автомобилиста при помощи векторов.

2. Расстояние от начальной до конечной точки маршрута ($D$).

3. Изменится ли это расстояние, если поменять очередность пройденных участков пути, не меняя их направлений и длин?

Решение

Построение схемы маршрута движения автомобилиста при помощи векторов

Для построения схемы маршрута удобно использовать декартову систему координат. Примем направление на восток за положительное направление оси X, а направление на север — за положительное направление оси Y. Начальная точка движения автомобилиста находится в начале координат $(0, 0)$. Каждый участок пути можно представить как вектор перемещения:

• Первый участок: $32 \text{ км}$ на север. Соответствующий вектор перемещения $\vec{d_1} = (0, 32) \text{ км}$.

• Второй участок: $18 \text{ км}$ на восток. Соответствующий вектор перемещения $\vec{d_2} = (18, 0) \text{ км}$.

• Третий участок: $7 \text{ км}$ на запад. Соответствующий вектор перемещения $\vec{d_3} = (-7, 0) \text{ км}$.

• Четвертый участок: $11 \text{ км}$ на юг. Соответствующий вектор перемещения $\vec{d_4} = (0, -11) \text{ км}$.

• Пятый участок: $27 \text{ км}$ снова на восток. Соответствующий вектор перемещения $\vec{d_5} = (27, 0) \text{ км}$.

Схема маршрута представляет собой последовательное графическое сложение этих векторов: конец (голова) каждого предыдущего вектора является началом (хвостом) следующего. Итоговое перемещение или результирующий вектор представляет собой вектор, проведенный из начальной точки (начала первого вектора) в конечную точку (конец последнего вектора).

Ответ: Схема маршрута строится как цепь из пяти векторов перемещения, соединенных последовательно, где каждый последующий вектор начинается там, где заканчивается предыдущий.

Расстояние от начальной до конечной точки маршрута

Расстояние от начальной до конечной точки маршрута — это модуль результирующего вектора перемещения $\vec{D}$, который равен векторной сумме всех отдельных векторов перемещения:

$\vec{D} = \vec{d_1} + \vec{d_2} + \vec{d_3} + \vec{d_4} + \vec{d_5}$

Найдем компоненты результирующего вектора по осям X и Y:

X-компонента (суммарное перемещение по оси восток-запад): $D_x = 0 \text{ км} + 18 \text{ км} - 7 \text{ км} + 0 \text{ км} + 27 \text{ км} = (18 - 7 + 27) \text{ км} = (11 + 27) \text{ км} = 38 \text{ км}$

Y-компонента (суммарное перемещение по оси север-юг): $D_y = 32 \text{ км} + 0 \text{ км} + 0 \text{ км} - 11 \text{ км} + 0 \text{ км} = (32 - 11) \text{ км} = 21 \text{ км}$

Таким образом, результирующий вектор перемещения равен $\vec{D} = (38, 21) \text{ км}$.

Расстояние от начальной до конечной точки (модуль вектора $\vec{D}$) вычисляется по формуле:

$D = \sqrt{D_x^2 + D_y^2}$ $D = \sqrt{(38 \text{ км})^2 + (21 \text{ км})^2}$ $D = \sqrt{1444 \text{ км}^2 + 441 \text{ км}^2}$ $D = \sqrt{1885 \text{ км}^2}$ $D \approx 43.4165 \text{ км}$

Округляя до двух знаков после запятой, получаем $D \approx 43.42 \text{ км}$.

Ответ: Расстояние от начальной до конечной точки маршрута составляет примерно $43.42 \text{ км}$.

Изменится ли это расстояние, если поменять очередность пройденных участков пути, не меняя их направлений и длин?

Векторное сложение подчиняется свойству коммутативности (переместительности) и ассоциативности (сочетательности). Это означает, что порядок, в котором векторы складываются, не влияет на их результирующую сумму. Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ справедливо:

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

и

$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

Поскольку каждый участок пути представлен вектором определенной длины и направления, их смена порядка при сложении не изменит итоговый результирующий вектор перемещения. Следовательно, и модуль этого результирующего вектора, который представляет собой расстояние от начальной до конечной точки, также останется неизменным.

Ответ: Нет, расстояние от начальной до конечной точки маршрута не изменится, так как векторное сложение является коммутативной и ассоциативной операцией, и результат суммы векторов не зависит от порядка их сложения.