Номер 35, страница 22 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

35. В треугольнике ABC $\angle C=90^\circ$, $AC=12 \text{ см}$, $CB=5 \text{ см}$, точки M и N – середины сторон AB и AC соответственно. Найдите длины векторов:

а) $\vec{AB}$

б) $\vec{CM}$

в) $\vec{MN}$.

Дано:

Треугольник $ABC$, $\angle C = 90^\circ$.

Длина стороны $AC = 12$ см.

Длина стороны $CB = 5$ см.

Точка $M$ – середина стороны $AB$.

Точка $N$ – середина стороны $AC$.

Перевод в систему СИ:

$AC = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$CB = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Длины векторов: а) $|\vec{AB}|$; б) $|\vec{CM}|$; в) $|\vec{MN}|$.

Решение:

Поместим вершину $C$ в начало координат $(0,0)$. Поскольку $\angle C = 90^\circ$, стороны $AC$ и $CB$ лежат на осях координат. Пусть $C=(0,0)$, $A=(0,12)$, $B=(5,0)$.

а) $\vec{AB}$

Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине стороны $AB$ треугольника $ABC$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + CB^2$

$AB^2 = 12^2 + 5^2$

$AB^2 = 144 + 25$

$AB^2 = 169$

$AB = \sqrt{169}$

$AB = 13$ см.

Таким образом, длина вектора $\vec{AB}$ составляет $13$ см.

Ответ: $13$ см

б) $\vec{CM}$

Точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$. В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.

$CM = \frac{1}{2} AB$

$CM = \frac{1}{2} \cdot 13$

$CM = 6.5$ см.

Альтернативный метод с использованием координат:

Координаты точки $A$ – $(0,12)$, точки $B$ – $(5,0)$.

Координаты середины $M$ отрезка $AB$: $M = \left( \frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2} \right) = \left( \frac{0+5}{2}, \frac{12+0}{2} \right) = \left( 2.5, 6 \right)$.

Вектор $\vec{CM}$ имеет координаты $(x_M - x_C, y_M - y_C) = (2.5 - 0, 6 - 0) = (2.5, 6)$.

Длина вектора $\vec{CM}$ вычисляется как $|\vec{CM}| = \sqrt{(2.5)^2 + 6^2} = \sqrt{6.25 + 36} = \sqrt{42.25} = 6.5$ см.

Таким образом, длина вектора $\vec{CM}$ составляет $6.5$ см.

Ответ: $6.5$ см

в) $\vec{MN}$

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является средней линией треугольника.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. В данном случае, $MN$ – средняя линия треугольника $ABC$, соединяющая середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $MN$ параллельна стороне $CB$ и равна ее половине.

$MN = \frac{1}{2} CB$

$MN = \frac{1}{2} \cdot 5$

$MN = 2.5$ см.

Альтернативный метод с использованием координат:

Координаты точки $M$ – $(2.5, 6)$ (из предыдущего пункта).

Координаты точки $A$ – $(0,12)$, точки $C$ – $(0,0)$.

Координаты середины $N$ отрезка $AC$: $N = \left( \frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2} \right) = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{12+0}{2} \right) = \left( 0, 6 \right)$.

Вектор $\vec{MN}$ имеет координаты $(x_N - x_M, y_N - y_M) = (0 - 2.5, 6 - 6) = (-2.5, 0)$.

Длина вектора $\vec{MN}$ вычисляется как $|\vec{MN}| = \sqrt{(-2.5)^2 + 0^2} = \sqrt{6.25} = 2.5$ см.

Таким образом, длина вектора $\vec{MN}$ составляет $2.5$ см.

Ответ: $2.5$ см