Номер 34, страница 22 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

уровень В

34. Верно ли, что если $\vec{AB} = \vec{CD}$, то $\vec{AC} = \vec{BD}$? Рассмотрите все возможные случаи.

Дано

Условие: $\vec{AB} = \vec{CD}$

Утверждение для проверки: $\vec{AC} = \vec{BD}$

Найти

Верно ли, что если $\vec{AB} = \vec{CD}$, то $\vec{AC} = \vec{BD}$? Рассмотреть все возможные случаи.

Решение

Для решения задачи воспользуемся свойством векторов, которое позволяет выразить вектор, соединяющий две точки, через их радиус-векторы, исходящие из произвольного начала координат O. Если $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D}$ являются радиус-векторами точек A, B, C, D соответственно, то любой вектор $\vec{XY}$ можно записать как разность радиус-векторов конечной и начальной точки: $\vec{XY} = \vec{Y} - \vec{X}$.

Запишем данное условие $\vec{AB} = \vec{CD}$ в терминах радиус-векторов:

$\vec{B} - \vec{A} = \vec{D} - \vec{C}$

Теперь рассмотрим утверждение, которое необходимо проверить: $\vec{AC} = \vec{BD}$. В терминах радиус-векторов это выглядит как:

$\vec{C} - \vec{A} = \vec{D} - \vec{B}$

Чтобы проверить, следует ли второе равенство из первого, преобразуем данное условие $\vec{B} - \vec{A} = \vec{D} - \vec{C}$.

1. Прибавим вектор $\vec{C}$ к обеим частям равенства:

$\vec{B} - \vec{A} + \vec{C} = \vec{D}$

2. Вычтем вектор $\vec{B}$ из обеих частей равенства:

$-\vec{A} + \vec{C} = \vec{D} - \vec{B}$

3. Переставим слагаемые в левой части для удобства:

$\vec{C} - \vec{A} = \vec{D} - \vec{B}$

Это равенство в точности соответствует утверждению $\vec{AC} = \vec{BD}$. Поскольку выполненные преобразования являются эквивалентными, то исходное условие $\vec{AB} = \vec{CD}$ всегда влечет за собой $\vec{AC} = \vec{BD}$.

Рассмотрите все возможные случаи.

Полученное аналитическое доказательство, основанное на свойствах векторной алгебры, является универсальным и не зависит от конкретного расположения точек в пространстве (в одномерном, двухмерном или трехмерном). Однако, для полноты ответа, рассмотрим различные геометрические конфигурации точек.

Случай 1: Точки A, B, C, D не коллинеарны и не совпадают.

Если $\vec{AB} = \vec{CD}$ и точки не коллинеарны, это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ имеют одинаковую длину, параллельны и сонаправлены. Это является одним из определений параллелограмма. Следовательно, четырехугольник ABDC является параллелограммом (сторона AB параллельна и равна стороне CD). В параллелограмме ABDC противоположные стороны $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ также равны и параллельны, то есть $\vec{AC} = \vec{BD}$. Таким образом, утверждение верно.

Ответ:

Случай 2: Точки A, B, C, D коллинеарны (лежат на одной прямой).

В этом случае все векторы $\vec{AB}, \vec{CD}, \vec{AC}, \vec{BD}$ направлены вдоль одной прямой. Вышеприведенное аналитическое доказательство полностью применимо, так как оно основано на базовых свойствах векторной алгебры, которые действуют и для одномерных векторов. Например, если считать, что точки расположены на числовой оси, и их координаты $x_A, x_B, x_C, x_D$, то векторы соответствуют разностям координат: $\vec{AB} \leftrightarrow (x_B - x_A)$, $\vec{CD} \leftrightarrow (x_D - x_C)$, $\vec{AC} \leftrightarrow (x_C - x_A)$, $\vec{BD} \leftrightarrow (x_D - x_B)$. Условие $(x_B - x_A) = (x_D - x_C)$ легко преобразуется в $(x_C - x_A) = (x_D - x_B)$ путем перестановки слагаемых. Таким образом, утверждение верно и для коллинеарных точек.

Ответ:

Случай 3: Некоторые или все точки совпадают.

Универсальность векторной алгебры позволяет применять доказанное тождество даже в случаях, когда некоторые или все точки совпадают. Например, если точка A совпадает с точкой B (A=B), то $\vec{AB} = \vec{0}$ (нулевой вектор). Из исходного условия $\vec{CD} = \vec{0}$, что означает, что точка C совпадает с точкой D (C=D). В этом случае утверждение $\vec{AC} = \vec{BD}$ превращается в $\vec{AC} = \vec{BC}$. Но так как A=B, то $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ являются одним и тем же вектором. То есть $\vec{AC} = \vec{AC}$, что является тождеством, которое всегда верно. Аналогично, любые другие комбинации совпадающих точек (например, A=D или B=C) также не нарушают векторного тождества, поскольку алгебраические преобразования остаются в силе. Таким образом, утверждение верно и в этом случае.

Ответ:

Обобщая, утверждение $\vec{AC} = \vec{BD}$ всегда является следствием условия $\vec{AB} = \vec{CD}$ во всех возможных случаях, поскольку это следует из базовых аксиом векторной алгебры.

Ответ: Да, верно.