Номер 32, страница 21 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

32. Постройте два вектора, имеющих равные длины, если они:

а) неколлинеарные;

б) одинаково направленные;

в) противоположно направленные.

В каком случае построенные векторы равны?

Чтобы два вектора были равны, они должны удовлетворять двум условиям: иметь равные длины (модули) и быть одинаково направленными. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, векторы не равны.

а) неколлинеарные

Построим два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с равными длинами, например, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = L$, но таким образом, чтобы они не лежали на одной прямой и не были параллельны. Например, вектор $\vec{a}$ может быть направлен вдоль оси X, а вектор $\vec{b}$ - вдоль оси Y. Если их длины равны, скажем, $L=5$, то $\vec{a} = (5, 0)$ и $\vec{b} = (0, 5)$.

В этом случае, хотя длины векторов равны, их направления различны. По определению равенства векторов, они не равны, так как для равенства необходимо совпадение как длины, так и направления.

Ответ: Векторы не равны.

б) одинаково направленные

Построим два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с равными длинами, например, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = L$, и таким образом, чтобы они были одинаково направлены. Это означает, что их направления совпадают. Например, если $\vec{a}$ - это вектор из точки $(0,0)$ в точку $(3,4)$, то $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$. Вектор $\vec{b}$ может быть таким же вектором из точки $(0,0)$ в точку $(3,4)$, или, например, вектором из точки $(1,1)$ в точку $(4,5)$. В обоих случаях их направление и длина совпадают.

В этом случае, поскольку длины векторов равны и их направления совпадают, по определению равенства векторов, эти векторы равны.

Ответ: Векторы равны.

в) противоположно направленные

Построим два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с равными длинами, например, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = L$, но таким образом, чтобы они были противоположно направлены. Это означает, что они лежат на одной прямой (или параллельных прямых), но их стрелки смотрят в противоположные стороны. Например, если $\vec{a}$ - это вектор из точки $(0,0)$ в точку $(5,0)$, то $\vec{b}$ - это вектор из точки $(0,0)$ в точку $(-5,0)$. Длины их равны ($|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 5$), но направления противоположны.

В этом случае, хотя длины векторов равны, их направления различны (они противоположны). Следовательно, по определению равенства векторов, эти векторы не равны. Вектор $\vec{b}$ является отрицательным к вектору $\vec{a}$, то есть $\vec{b} = -\vec{a}$.

Ответ: Векторы не равны.

Построенные векторы равны только в случае, когда они **одинаково направленные** и имеют равные длины.