Номер 27, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Постройте угол $\varphi$, если:

а) $ \sin \varphi = \frac{2}{5} $;

б) $ \cos \varphi = -\frac{3}{4} $.

Сколько решений имеет задача?

а) $\sin \varphi = \frac{2}{5}$

Дано: $\sin \varphi = \frac{2}{5}$

Найти: Угол $\varphi$ и количество решений.

Решение: Для построения угла $\varphi$ воспользуемся единичной окружностью. Единичная окружность - это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=1$. Значение синуса угла $\varphi$ соответствует ординате ($y$-координате) точки на единичной окружности, которая соответствует углу $\varphi$.

Поскольку $\sin \varphi = \frac{2}{5}$, это означает, что $y = \frac{2}{5}$.

Алгоритм построения угла $\varphi$:

1. Начертите декартову систему координат и единичную окружность с центром в начале координат.

2. На оси ординат (оси Y) отложите значение $y = \frac{2}{5}$. Так как $2/5 = 0.4$, это будет точка $(0, 0.4)$.

3. Проведите горизонтальную прямую через эту точку $(0, \frac{2}{5})$. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках.

4. Соедините начало координат с каждой из этих двух точек. Полученные отрезки будут радиусами единичной окружности.

5. Углы, образованные этими радиусами с положительным направлением оси абсцисс (оси X), и будут искомыми углами $\varphi$.

Поскольку $0 < \frac{2}{5} < 1$, горизонтальная прямая $y = \frac{2}{5}$ пересекает единичную окружность в двух различных точках. Одна из этих точек лежит в первой четверти, а другая – во второй четверти. Таким образом, в интервале $[0, 2\pi)$ (или от $0^\circ$ до $360^\circ$) существует два различных угла, синус которых равен $\frac{2}{5}$. Эти углы можно выразить как $\varphi_1 = \arcsin\left(\frac{2}{5}\right)$ и $\varphi_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{5}\right)$.

Если рассматривать все возможные значения угла (т.е., учитывать периодичность тригонометрических функций), то решений будет бесконечно много, представленных формулами $\varphi = (-1)^n \arcsin\left(\frac{2}{5}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Однако, если речь идет о количестве различных углов в пределах одного полного оборота (что является стандартной интерпретацией для таких задач), то решений будет два.

Ответ: Задача имеет два решения в пределах одного полного оборота ($[0, 2\pi)$).

б) $\cos \varphi = -\frac{3}{4}$

Дано: $\cos \varphi = -\frac{3}{4}$

Найти: Угол $\varphi$ и количество решений.

Решение: Для построения угла $\varphi$ также воспользуемся единичной окружностью. Значение косинуса угла $\varphi$ соответствует абсциссе ($x$-координате) точки на единичной окружности, которая соответствует углу $\varphi$.

Поскольку $\cos \varphi = -\frac{3}{4}$, это означает, что $x = -\frac{3}{4}$.

Алгоритм построения угла $\varphi$:

1. Начертите декартову систему координат и единичную окружность с центром в начале координат.

2. На оси абсцисс (оси X) отложите значение $x = -\frac{3}{4}$. Так как $-3/4 = -0.75$, это будет точка $(-0.75, 0)$.

3. Проведите вертикальную прямую через эту точку $(-\frac{3}{4}, 0)$. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках.

4. Соедините начало координат с каждой из этих двух точек. Полученные отрезки будут радиусами единичной окружности.

5. Углы, образованные этими радиусами с положительным направлением оси абсцисс (оси X), и будут искомыми углами $\varphi$.

Поскольку $-1 < -\frac{3}{4} < 1$, вертикальная прямая $x = -\frac{3}{4}$ пересекает единичную окружность в двух различных точках. Одна из этих точек лежит во второй четверти, а другая – в третьей четверти. Таким образом, в интервале $[0, 2\pi)$ (или от $0^\circ$ до $360^\circ$) существует два различных угла, косинус которых равен $-\frac{3}{4}$. Эти углы можно выразить как $\varphi_1 = \arccos\left(-\frac{3}{4}\right)$ и $\varphi_2 = 2\pi - \arccos\left(-\frac{3}{4}\right)$.

Если рассматривать все возможные значения угла, то решений будет бесконечно много, представленных формулой $\varphi = \pm \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Однако, если речь идет о количестве различных углов в пределах одного полного оборота, то решений будет два.

Ответ: Задача имеет два решения в пределах одного полного оборота ($[0, 2\pi)$).